Apenas uma das funções indicadas abaixo admite uma raiz no intervalo (1,2). Qual é a função?
Escolha uma opção:
a. f(x)=sen(x).
b. f(x)=3-2 x3 x.
c. f(x)=raizx-2 x.
d. f(x)=x^3-4 x^2.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para descobrir qual das quatro funções tem uma raiz no intervalo entre 1 e 2. Ou seja, queremos encontrar qual função cruza o eixo nesse intervalo. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua no intervalo e seus valores nas extremidades têm sinais opostos, então ela deve cruzar o eixo em algum ponto desse intervalo.

Passo 2

Vamos analisar a função a. f(1) = sin(1) approx 0,8415 .
Primeiro, calculamos f(2) = sin(2) approx 0,9093 e :
Ambos os valores são positivos. Não há mudança de sinal, ou seja, a função não cruza o eixo no intervalo (1,2).

Passo 3

Agora, vamos para a função b. f(1) = 3 - 2(1)3(1) = 13 approx 0,3333 .
Calculamos f(2) = 3 - 2(2)3(2) = -16 approx -0,1667 e :
Aqui, é positivo e é negativo. Existe uma mudança de sinal, o que indica, pelo Teorema do Valor Intermediário, que há pelo menos uma raiz no intervalo (1,2) para essa função.

Passo 4

Vamos para a função c. f(1) = raiz1 - 2(1) = 1 - 2 = -1 .
Calculamos f(2) = raiz2 - 2(2) approx 1,4142 - 4 = -2,5858 e :
Ambos os valores são negativos. Não há mudança de sinal, então essa função não tem raiz no intervalo (1,2).

Passo 5

Por fim, vamos analisar a função d. f(1) = 1^3 - 4(1)^2 = 1 - 4 = -3 .
Calculamos f(2) = 2^3 - 4(2)^2 = 8 - 16 = -8 e :
Mais uma vez, ambos os valores são negativos. Não há troca de sinal, então essa função também não tem raiz no intervalo (1,2).

Resposta

A função que admite uma raiz no intervalo (1,2) é a opção b. .

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