Determine todos os valores de
para os quais o seguinte problema de EDO com condiçōess de contorno tem ao menos uma soluçăo nāo trivial. (Justifique as etapas da sua soluçāo)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar todos os valores de
que fazem com que a equação diferencial ordinária (EDO):
com as condições de contorno
e
, tenha pelo menos uma solução não trivial (ou seja, uma solução diferente da solução trivial
). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas e condições de contorno. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a EDO
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral de resolução aqui envolve encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é obtida supondo uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Substituindo
na EDO:
Como
, temos a equação característica:
Passo 3
Agora, dependendo do valor de
, podemos ter diferentes tipos de soluções:
-
Se
: As raízes são reais e diferentes: e . A solução geral será: -
Se
: A equação se simplifica para , cuja solução geral é: -
Se
: Define-se , então as raízes são complexas: . A solução geral será:
Vamos analisar esses casos para encontrar os valores de
que satisfazem as condições de contorno.
Passo 4
Vamos aplicar as condições de contorno
e
em cada caso.
Caso 1:
A solução geral é:
Aplicando
:
Substituindo na solução:
Aplicando
:
Como estamos buscando soluções não triviais (
), isso implicaria que:
Mas
somente se
, ou seja,
, o que contradiz nossa suposição inicial de
. Portanto, não há soluções não triviais para
.
Caso 2:
A solução geral é:
Aplicando
:
A solução fica:
Aplicando
:
A única solução é trivial (
), então
não nos interessa.
Caso 3:
Vamos definir
, então a solução geral é:
Aplicando
:
A solução fica:
Aplicando
:
Para ter uma solução não trivial (
), precisamos que:
Então:
Resposta
Todos os valores de
que satisfazem o problema são: