Determine todos os valores de lambda para os quais o seguinte problema de EDO com condiçōess de contorno tem ao menos uma soluçăo nāo trivial. (Justifique as etapas da sua soluçāo)
l e^(x^2+lambda x)+e^(y^2-lambda y) l y^prime prime(x)-4 lambda y(x)=0 y(0)=0, y(1)=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar todos os valores de lambda que fazem com que a equação diferencial ordinária (EDO):
y''(x) - 4lambda y(x) = 0
com as condições de contorno y(0) = 0 e y(1) = 0, tenha pelo menos uma solução não trivial (ou seja, uma solução diferente da solução trivial y(x) = 0). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares homogêneas e condições de contorno. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a EDO y''(x) - 4lambda y(x) = 0. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral de resolução aqui envolve encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é obtida supondo uma solução da forma y(x) = e^rx, onde r é uma constante a ser determinada.
Substituindo y(x) = e^rx na EDO:
r^2 e^rx - 4lambda e^rx = 0 implies (r^2 - 4lambda) e^rx = 0
Como e^rx neq 0, temos a equação característica:
r^2 - 4lambda = 0 implies r = pm 2raizlambda

Passo 3

Agora, dependendo do valor de lambda, podemos ter diferentes tipos de soluções:
  1. Se lambda > 0: As raízes são reais e diferentes: r = 2raizlambda e r = -2raizlambda. A solução geral será:
    y(x) = C1 e^2raizlambda x + C2 e^-2raizlambda x
  2. Se lambda = 0: A equação se simplifica para y''(x) = 0, cuja solução geral é:
    y(x) = C1 x + C2
  3. Se lambda < 0: Define-se mu = raiz-lambda, então as raízes são complexas: r = pm 2imu. A solução geral será:
    y(x) = C1 cos(2mu x) + C2 sin(2mu x)
Vamos analisar esses casos para encontrar os valores de lambda que satisfazem as condições de contorno.

Passo 4

Vamos aplicar as condições de contorno y(0) = 0 e y(1) = 0 em cada caso.
Caso 1: lambda > 0
A solução geral é:
y(x) = C1 e^2raizlambda x + C2 e^-2raizlambda x
Aplicando y(0) = 0:
C1 + C2 = 0 implies C2 = -C1
Substituindo na solução:
y(x) = C1 ( e^2raizlambda x - e^-2raizlambda x )
Aplicando y(1) = 0:
C1 ( e^2raizlambda - e^-2raizlambda ) = 0
Como estamos buscando soluções não triviais ( C1 neq 0), isso implicaria que:
e^2raizlambda - e^-2raizlambda = 0 implies e^4raizlambda = 1
Mas e^4raizlambda = 1 somente se 4raizlambda = 0, ou seja, lambda = 0, o que contradiz nossa suposição inicial de lambda > 0. Portanto, não há soluções não triviais para lambda > 0.
Caso 2: lambda = 0
A solução geral é:
y(x) = C1 x + C2
Aplicando y(0) = 0:
C2 = 0
A solução fica:
y(x) = C1 x
Aplicando y(1) = 0:
C1 cdot 1 = 0 implies C1 = 0
A única solução é trivial ( y(x) = 0), então lambda = 0 não nos interessa.
Caso 3: lambda < 0
Vamos definir mu = raiz-lambda, então a solução geral é:
y(x) = C1 cos(2mu x) + C2 sin(2mu x)
Aplicando y(0) = 0:
C1 = 0
A solução fica:
y(x) = C2 sin(2mu x)
Aplicando y(1) = 0:
C2 sin(2mu) = 0
Para ter uma solução não trivial ( C2 neq 0), precisamos que:
sin(2mu) = 0 implies 2mu = npi onde n é um inteiro é
Então:
mu = npi2 implies raiz-lambda = npi2 implies lambda = -( npi2 )^2

Resposta

Todos os valores de lambda que satisfazem o problema são:
lambda = -( npi2 )^2 para n = 1, 2, 3, dots

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