Considere
. Seja
uma função diferenciável em
tal que
.
Leonardo derivou a função
em
e obteve o valor 2 como resultado.
Exatamente uma das possibilidades para
consta nas opções a seguir.
Escolha uma opção:
.
.
Leonardo derivou a função
Exatamente uma das possibilidades para
Escolha uma opção:
Passo 1
Então, a gente tem uma função
definida para todos os números reais (
). Também temos outra função
que é diferenciável em
e que
não é zero. O Leonardo derivou a função
no ponto
e o resultado foi 2. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das opções de
dadas está correta para que isso aconteça. Vamos precisar usar o cálculo de derivadas, especificamente a regra do quociente, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra do quociente para derivadas. Se temos uma função
, a derivada dela é:
No nosso caso, queremos calcular
e igualar a 2:
Passo 3
Vamos calcular
e
.
Primeiro,
.
Agora, derivando
:
Então,
.
Passo 4
Substituindo os valores na equação da derivada:
Isso simplifica para:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, resolvendo para
:
Então, precisamos encontrar qual das opções de
satisfaz
.
Passo 6
Vamos verificar cada opção:
-
Opção A:
-
Opção B:
-
Opção C:
-
Opção D:
Resposta
A opção que atende a condição
é a Opção B:
.