Considere f(x)=x^3-4 x, x in R. Seja g(x) uma função diferenciável em R tal que g(0) neq 0.
Leonardo derivou a função fg em x=0 e obteve o valor 2 como resultado.
Exatamente uma das possibilidades para g(x) consta nas opções a seguir.
Escolha uma opção:
g(x)=3 x^3-2 x^2+1, x in R.
g(x)=3 sen(x)-2, x in(-pi / 2, pi / 2)
g(x)=-x^2+5, x in R
g(x)=4 cos (x), x in(-pi / 2, pi / 2).

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida para todos os números reais ( ). Também temos outra função que é diferenciável em e que não é zero. O Leonardo derivou a função no ponto e o resultado foi 2. Nosso objetivo aqui é descobrir qual das opções de dadas está correta para que isso aconteça. Vamos precisar usar o cálculo de derivadas, especificamente a regra do quociente, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do quociente para derivadas. Se temos uma função h'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 , a derivada dela é:
h'(0) = f'(0)g(0) - f(0)g'(0)[g(0)]^2 = 2
No nosso caso, queremos calcular e igualar a 2:

Passo 3

Vamos calcular f'(x) = 3x^2 - 4 e .
Primeiro, .
Agora, derivando :
Então, .

Passo 4

Substituindo os valores na equação da derivada:
(-4)g(0) - 0 cdot g'(0)[g(0)]^2 = 2
Isso simplifica para:
-4g(0)[g(0)]^2 = 2
Simplificando mais:
-4g(0) = 2

Passo 5

Agora, resolvendo para -4 = 2g(0) implies g(0) = -2 :
Então, precisamos encontrar qual das opções de satisfaz .

Passo 6

Vamos verificar cada opção:
  1. Opção A: g(0) = 3(0)^3 - 2(0)^2 + 1 = 1 neq -2
    g(0) = 3 sin(0) - 2 = -2
  2. Opção B: g(0) = -0^2 + 5 = 5 neq -2
    g(0) = 4 cos(0) = 4 neq -2
  3. Opção C:
  4. Opção D:

Resposta

A opção que atende a condição é a Opção B: .

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