Seja
a sequência definida por :
Dado
encontre o menor
tal que se
então
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por partes:
para
e
para
. Queremos, dado
, achar o menor
tal que, para todo
, valha
. Vamos usar a definição de limite de sequência e resolver a desigualdade apropriada.
Passo 2
Primeiro identificamos o limite
. Como para
vale
, temos
.
Passo 3
Pela definição de convergência precisamos de
. Aqui
, então isso vira
.
Passo 4
Para
vale
. Então a condição fica
, o que implica
Passo 5
Mas essa expressão só vale no ramo em que
. Logo, para garantir simultaneamente
e
, basta tomar
Passo 6
Assim, para todo
temos
implicando
, isto é
.
Resposta
1000