Seja x: N R a sequência definida por :
xn= 1, & se 1 <= n <= 1000 2n, & se n>1000
Dado epsilon=1400 encontre o menor m in N tal que se n>m então xn in(L-epsilon, L+epsilon).

Passo 1

O enunciado define a sequência xn por partes: xn=1 para 1<= n<=1000 e xn=2/n para n>1000. Queremos, dado varepsilon=1/400, achar o menor min N tal que, para todo n>m, valha xnin(L-varepsilon,L+varepsilon). Vamos usar a definição de limite de sequência e resolver a desigualdade apropriada.

Passo 2

Primeiro identificamos o limite L. Como para ntoinfty vale xn=2/n, temos L=0.

Passo 3

Pela definição de convergência precisamos de |xn-L|. Aqui xn>=0, então isso vira xn<1/400.

Passo 4

Para n>1000 vale xn=2/n. Então a condição fica 2/n<1/400, o que implica
n>2cdot400=800

Passo 5

Mas essa expressão só vale no ramo em que n>1000. Logo, para garantir simultaneamente n>1000 e n>800, basta tomar
m=1000

Passo 6

Assim, para todo n>1000 temos n>800 implicando 2/n<1/400, isto é |xn-0|<1/400.

Resposta

1000

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