Em uma API instável, apenas 25 \% das requisições retornam resposta correta.
a. Qual a probabilidade de a primeira resposta correta ocorrer na 5^{\underline{a}} tentativa?
b. Qual a chance de ela ocorrer antes da 4^{\underline{a}} tentativa?

Passo 1

O enunciado diz que em cada requisição a uma API instável a chance de sucesso é de 25\%. Vamos modelar o número de tentativas até a primeira resposta correta por uma distribuição geométrica com parâmetro de sucesso
p = \frac{25}{100} = 0,25.
A fórmula da probabilidade de a primeira resposta correta ocorrer exatamente na k-ésima tentativa é
P(X=k) = (1-p)^{\,k-1}\,p.

Passo 2

Para a letra (a) queremos P(X=5). Aplicando a fórmula com k=5 e 1-p=0,75, temos
P(X=5) = (0,75)^{5-1}\times 0,25 = (0,75)^{4}\times 0,25.

Passo 3

Calculando (0,75)^{4}=(\tfrac{3}{4})^{4}=\tfrac{81}{256}, obtemos
P(X=5) = \frac{81}{256}\times \frac{1}{4} = \frac{81}{1024}\approx 0,0791.

Passo 4

Para a letra (b) queremos a chance de a primeira resposta correta ocorrer antes da 4ª tentativa, isto é, em X\le3. Podemos usar a complementar:
P(X\le3) = 1 - P(X>3).
Como P(X>3) é a probabilidade de falhar nas três primeiras tentativas, temos
P(X>3) = (1-p)^{3} = (0,75)^{3}.

Passo 5

Calculando (0,75)^{3}=(\tfrac{3}{4})^{3}=\tfrac{27}{64}, concluímos
P(X\le3) = 1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}\approx 0,5781.

Resposta

a) \displaystyle P(X=5)=\frac{81}{1024}\approx0,0791
b) \displaystyle P(X<4)=P(X\le3)=\frac{37}{64}\approx0,5781

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