Um servidor de rede falha, em média, uma vez a cada 25 requisições. Qual a probabilidade que a primeira falha ocorra:
a. Até a terceira requisição;
b. A partir da 5a requisição;

Passo 1

O enunciado diz que, em cada requisição, a probabilidade de falha é constante e igual a p = 1/25, com requisições independentes. Então o número de requisições até a primeira falha segue uma distribuição geométrica com parâmetro p, isto é,
P(X = k) = (1-p)^{\,k-1}\,p.

Passo 2

Para calcular a probabilidade de a primeira falha ocorrer até a terceira requisição, usamos
P(X \le 3) \;=\; 1 - P(X > 3).
Como
P(X > 3) = (1-p)^{3},
temos
P(X \le 3) = 1 - (1-p)^{3}.
Substituindo p = 1/25, vem
P(X \le 3) = 1 - \bigl(\tfrac{24}{25}\bigr)^{3}.

Passo 3

Para a probabilidade de a primeira falha ocorrer a partir da quinta requisição, note que isso equivale a não haver falha nas quatro primeiras requisições, ou seja
P(X \ge 5) = P(X > 4) = (1-p)^{4}.
Substituindo p = 1/25, obtemos
P(X \ge 5) = \bigl(\tfrac{24}{25}\bigr)^{4}.

Resposta

a. 1 - \bigl(\tfrac{24}{25}\bigr)^{3} \approx 0,1153
b. \bigl(\tfrac{24}{25}\bigr)^{4} \approx 0,8493

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