Em uma rede, cada tentativa de conexão simultânea tem 95 \% de chance de sucesso. Se 12 tentativas forem realizadas:
a. Qual a probabilidade de haver mais de 10 conexões simultâneas bem-sucedidas?
b. Qual o valor esperado de conexões bem-sucedidas?
c. Qual a variância e desvio padrão dessa distribuição?

Passo 1

O enunciado diz que cada tentativa de conexão tem probabilidade de sucesso de 95\%, e fazemos 12 tentativas independentes. Seja X o número de conexões bem-sucedidas. Então
X \sim \mathrm{Binomial}(n=12,\;p=0,95).
Precisamos de
  1. \Pr(X>10),
  2. o valor esperado \mathbb{E}(X),
  3. a variância \mathrm{Var}(X) e o desvio padrão \sigma_X.

Passo 2

Para calcular \Pr(X>10) usamos a fórmula da binomial:
\Pr(X>10) =\sum_{k=11}^{12}\binom{12}{k}(0,95)^{k}(0,05)^{12-k}.
Em particular,
\Pr(X=11) =\binom{12}{11}(0,95)^{11}(0,05)^{1} =12\cdot(0,95)^{11}\cdot0,05 \approx0,3413,
\Pr(X=12) =(0,95)^{12} \approx0,5404.
Logo,
\Pr(X>10)\approx0,3413+0,5404=0,8817.

Passo 3

O valor esperado de uma binomial é
\mathbb{E}(X)=n\,p=12\cdot0,95=11,4.

Passo 4

A variância de X é
\mathrm{Var}(X)=n\,p\,(1-p) =12\cdot0,95\cdot0,05=0,57.
O desvio padrão é
\sigma_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)} =\sqrt{0,57}\approx0,755.

Resposta

(a) \Pr(X>10)\approx0,8817
(b) \mathbb{E}(X)=11,4
(c) \mathrm{Var}(X)=0,57 e \sigma_X\approx0,755

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