1. Um apito com frequência f se move em círculo de raio R e com velocidade angular \omega. Determine a frequência mais baixa escutada por um ouvinte afastado de uma longa distância, em repouso em relação ao centro do círculo. Dados: velocidade do som v_{s} vale 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Dado: a frequência do apito emitida é \,f.
  • Dado: o apito descreve um movimento circular de raio \,R e velocidade angular \,\omega.
  • Dado: velocidade do som \,v_{s}=343\\ \mathrm{m/s}.
  • Dado: o ouvinte está muito longe (afastado a longa distância) e em repouso em relação ao centro do círculo.
  • Pedido: determinar a frequência mais baixa escutada pelo ouvinte (isto é, o menor valor da frequência percebida pelo ouvinte durante o movimento circular).

Passo 2

Entender a física que define a frequência ouvida: efeito Doppler para fonte móvel e ouvinte em repouso.
Primeiro, repasse rápido e didático do que acontece com as frentes de onda quando a fonte se move. A fonte emite sons com período de emissão T, onde
T=\frac{1}{f}.
A distância entre frentes de onda emitidas (o comprimento de onda no meio) quando a fonte está em repouso seria
\lambda=\frac{v_{s}}{f},
onde \,v_{s} é a velocidade do som no ar. Agora considere que a fonte tem uma componente de velocidade radial (ou seja, ao longo da direção que liga a fonte ao ouvinte) igual a u. Para definir o sinal convém adotar: u>0 quando a fonte está se afastando do ouvinte (recedendo) e u<0 quando está se aproximando.
Durante o intervalo T entre duas emissões consecutivas, a fonte avançará uma distância uT na direção radial. Se estiver se afastando, essa distância aumenta a separação entre frentes de onda; se estiver se aproximando, diminui. Assim o comprimento de onda efetivo na direção do ouvinte fica
\lambda'=\lambda+uT.
Substituindo \lambda=\dfrac{v_{s}}{f} e T=\dfrac{1}{f} obtemos
\lambda'=\frac{v_{s}}{f}+\frac{u}{f}=\frac{v_{s}+u}{f}.
A frequência percebida pelo ouvinte, que está em repouso no meio, é a velocidade do som dividida pelo comprimento de onda recebido:
f_{\text{ouv}}=\frac{v_{s}}{\lambda'}.
Substituindo \lambda' aparece a fórmula do Doppler para fonte em movimento (ouvinte em repouso):
f_{\text{ouv}}=f\;\frac{v_{s}}{v_{s}+u}.
Comentários sobre sinais e limites:
  • Se u>0 (fonte se afasta) o denominador aumenta e f_{\text{ouv}}<f (queda de frequência).
  • Se u<0 (fonte se aproxima) o denominador diminui e f_{\text{ouv}}>f (a frequência aumenta).
  • Se u=0 (fonte sem componente radial), então f_{\text{ouv}}=f.
Aqui eu expliquei passo a passo de onde vem a fórmula; sempre que usar essa fórmula lembre-se: f é a frequência emitida, v_{s} é a velocidade do som, u é a componente da velocidade da fonte ao longo da linha fonte–ouvinte (positiva se afastando).

Passo 3

Aplicar a fórmula ao movimento circular — encontrar qual é a componente radial máxima (que dá a menor frequência).
A velocidade linear da fonte na trajetória circular tem módulo
V=\omega R,
onde \omega é a velocidade angular e R o raio. A direção instantânea da velocidade é tangencial à circunferência. O que importa para o efeito Doppler é apenas a componente dessa velocidade ao longo da direção que une a fonte ao ouvinte (componente radial).
Como o ouvinte está muito longe, a direção fonte–ouvinte pode ser tratada como uma única direção fixa (por exemplo o eixo x). Ao longo do movimento circular a projeção da velocidade tangencial nessa direção varia entre -V e +V (porque a componente de uma velocidade tangencial pode apontar totalmente para o observador ou totalmente para longe dele, dependendo da posição na circunferência). Logo a componente radial u satisfaz
-\,V \le u \le +\,V.
A menor frequência percebida ocorre quando a fonte se afasta o mais rápido possível, isto é, quando a componente radial é a máxima positiva:
u_{\max}=V=\omega R.
(Isto corresponde aos instantes em que a velocidade tangencial está totalmente apontando para longe do observador.)

Passo 4

Substituir u=u_{\max}=\omega R na fórmula do Doppler encontrada no Passo 2.
A fórmula geral:
f_{\text{ouv}}=f\;\frac{v_{s}}{v_{s}+u}.
Tomando u=\omega R (caso de recuo máximo), a menor frequência possível é
f_{\min}=f\;\frac{v_{s}}{v_{s}+\omega R}.
Esta é a expressão final em termos de f,\;v_{s},\;\omega e R. Como checagem rápida: se \omega R for muito menor que v_{s} (caso típico), podemos aproximar com expansão em primeira ordem:
f_{\min}=f\;\frac{1}{1+\dfrac{\omega R}{v_{s}}}\approx f\left(1-\frac{\omega R}{v_{s}}\right),
o que dá uma perda de frequência proporcional a \dfrac{\omega R}{v_{s}} quando a velocidade da fonte é pequena frente à velocidade do som.

Passo 5

Observação prática e incentivo: como o enunciado deu apenas v_{s}=343\\ \mathrm{m/s} mas não forneceu valores numéricos para f,\;R ou \omega, não é possível dar um número final. A fórmula acima é o resultado que permite calcular o menor valor ouvido assim que os outros parâmetros forem conhecidos. Se quiser, me passe valores para f,\;R,\;\omega que eu calculo o f_{\min} numericamente para você — e prometo explicar cada conta passo a passo!

Resposta

f_{\min}=f\;\frac{v_{s}}{v_{s}+\omega R}

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