- Um apito com frequência
se move em círculo de raio
e com velocidade angular
. Determine a frequência mais baixa escutada por um ouvinte afastado de uma longa distância, em repouso em relação ao centro do círculo. Dados: velocidade do som
vale
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
- Dado: a frequência do apito emitida é
. - Dado: o apito descreve um movimento circular de raio
e velocidade angular . - Dado: velocidade do som
. - Dado: o ouvinte está muito longe (afastado a longa distância) e em repouso em relação ao centro do círculo.
- Pedido: determinar a frequência mais baixa escutada pelo ouvinte (isto é, o menor valor da frequência percebida pelo ouvinte durante o movimento circular).
Passo 2
Entender a física que define a frequência ouvida: efeito Doppler para fonte móvel e ouvinte em repouso.
Primeiro, repasse rápido e didático do que acontece com as frentes de onda quando a fonte se move. A fonte emite sons com período de emissão
, onde
A distância entre frentes de onda emitidas (o comprimento de onda no meio) quando a fonte está em repouso seria
onde
é a velocidade do som no ar. Agora considere que a fonte tem uma componente de velocidade radial (ou seja, ao longo da direção que liga a fonte ao ouvinte) igual a
. Para definir o sinal convém adotar:
quando a fonte está se afastando do ouvinte (recedendo) e
quando está se aproximando.
Durante o intervalo
entre duas emissões consecutivas, a fonte avançará uma distância
na direção radial. Se estiver se afastando, essa distância aumenta a separação entre frentes de onda; se estiver se aproximando, diminui. Assim o comprimento de onda efetivo na direção do ouvinte fica
Substituindo
e
obtemos
A frequência percebida pelo ouvinte, que está em repouso no meio, é a velocidade do som dividida pelo comprimento de onda recebido:
Substituindo
aparece a fórmula do Doppler para fonte em movimento (ouvinte em repouso):
Comentários sobre sinais e limites:
- Se
(fonte se afasta) o denominador aumenta e (queda de frequência). - Se
(fonte se aproxima) o denominador diminui e (a frequência aumenta). - Se
(fonte sem componente radial), então .
Aqui eu expliquei passo a passo de onde vem a fórmula; sempre que usar essa fórmula lembre-se:
é a frequência emitida,
é a velocidade do som,
é a componente da velocidade da fonte ao longo da linha fonte–ouvinte (positiva se afastando).
Passo 3
Aplicar a fórmula ao movimento circular — encontrar qual é a componente radial máxima (que dá a menor frequência).
A velocidade linear da fonte na trajetória circular tem módulo
onde
é a velocidade angular e
o raio. A direção instantânea da velocidade é tangencial à circunferência. O que importa para o efeito Doppler é apenas a componente dessa velocidade ao longo da direção que une a fonte ao ouvinte (componente radial).
Como o ouvinte está muito longe, a direção fonte–ouvinte pode ser tratada como uma única direção fixa (por exemplo o eixo
). Ao longo do movimento circular a projeção da velocidade tangencial nessa direção varia entre
e
(porque a componente de uma velocidade tangencial pode apontar totalmente para o observador ou totalmente para longe dele, dependendo da posição na circunferência). Logo a componente radial
satisfaz
A menor frequência percebida ocorre quando a fonte se afasta o mais rápido possível, isto é, quando a componente radial é a máxima positiva:
(Isto corresponde aos instantes em que a velocidade tangencial está totalmente apontando para longe do observador.)
Passo 4
Substituir
na fórmula do Doppler encontrada no Passo 2.
A fórmula geral:
Tomando
(caso de recuo máximo), a menor frequência possível é
Esta é a expressão final em termos de
e
. Como checagem rápida: se
for muito menor que
(caso típico), podemos aproximar com expansão em primeira ordem:
o que dá uma perda de frequência proporcional a
quando a velocidade da fonte é pequena frente à velocidade do som.
Passo 5
Observação prática e incentivo: como o enunciado deu apenas
mas não forneceu valores numéricos para
ou
, não é possível dar um número final. A fórmula acima é o resultado que permite calcular o menor valor ouvido assim que os outros parâmetros forem conhecidos. Se quiser, me passe valores para
que eu calculo o
numericamente para você — e prometo explicar cada conta passo a passo!