- Suponha que pudéssemos escavar um túnel retilíneo passando pelo centro de um planeta, de um lado ao outro. Se, a partir de uma das extremidades deste túnel, soltássemos uma esfera de massa
a partir do repouso, qual seria o período do movimento harmônico simples realizado pela esfera ? Dados: a massa do planeta vale
e o raio do planeta vale
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre o período do movimento harmônico simples feito por uma esfera de massa
que é solta do repouso numa extremidade de um túnel retilíneo que atravessa um planeta pelo seu centro, indo de um lado ao outro. As informações dadas são:
- massa do planeta:
; - raio do planeta:
; - a esfera é solta a partir do repouso na superfície (ou seja, na distância
do centro) e pode mover-se no túnel retilíneo que passa pelo centro até a outra extremidade.
O objetivo final é achar o períododesse movimento.
Passo 2
(Observação/pressuposto necessário) Para resolver o problema é preciso assumir que o planeta tem densidade uniforme (ou seja, é homogêneo). Sem essa hipótese a distribuição de massa interna não é conhecida e não é possível obter uma expressão única apenas em termos de
e
. Vou, portanto, assumir densidade uniforme — essa é a hipótese padrão nesse problema clássico.
Passo 3
Conceito importante: teorema das cascas esféricas (teorema de Newton). Ele diz, para uma esfera de densidade esférica:
- A massa que está fora da esfera de raio
não exerce força gravitacional resultante sobre um ponto que esteja a distância do centro (as contribuições se cancelam). - A força gravitacional que age em um ponto interior a uma esfera homogênea depende apenas da massa contida na esfera de raio
(a chamada massa “encapsulada” ou massa interna).
Isso permite calcular a força gravitacional sobre a esfera em qualquer ponto interno apenas usando a massa interna.
Passo 4
Cálculo da densidade média do planeta. Se a densidade é uniforme,
vale:
Explico: o volume da esfera é
. Dividindo a massa total
por esse volume obtemos a densidade
.
Passo 5
Cálculo da massa contida dentro de um raio
. Usando a densidade
:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 6
Força gravitacional sobre a esfera quando ela está a uma distância
do centro (com
). A intensidade da força é dada pela lei da gravitação universal usando apenas
:
Substituindo
obtemos
Como a força aponta em direção ao centro, a forma vetorial (ou com sinal) é de restauração:
onde o sinal negativo indica que a força é dirigida para o centro (oposta ao deslocamento radial
).
Passo 7
Escolha de coordenada e equação de movimento. Coloco um eixo
ao longo do túnel, com origem no centro do planeta; então a posição da esfera é
e
, mas a componente da força ao longo do eixo é simplesmente proporcional a
com sinal de restauração. Aplicando a segunda lei de Newton na direção do eixo:
Cancelo o
dos dois lados:
Essa é exatamente a equação do movimento harmônico simples padrão:
onde
Passo 8
Solução e período. A solução geral do EDO do tipo
é
. Com as condições iniciais do enunciado (solta-se a esfera do repouso no extremo:
e
) obtém-se
e
, logo
O período do movimento harmônico simples é dado por
Substituindo
resulta
Passo 9
Comentário final (insight útil). Observações importantes:
- O período
não depende da massa da esfera : ela cancela nas equações (como em queda livre). - Se preferir escrever em função da densidade
, usando , obtém-se a forma alternativa
Assim, para um planeta homogêneo o período depende apenas da densidade média, não do tamanho absoluto.