1. Suponha que pudéssemos escavar um túnel retilíneo passando pelo centro de um planeta, de um lado ao outro. Se, a partir de uma das extremidades deste túnel, soltássemos uma esfera de massa m a partir do repouso, qual seria o período do movimento harmônico simples realizado pela esfera ? Dados: a massa do planeta vale M e o raio do planeta vale R.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o período do movimento harmônico simples feito por uma esfera de massa m que é solta do repouso numa extremidade de um túnel retilíneo que atravessa um planeta pelo seu centro, indo de um lado ao outro. As informações dadas são:
  • massa do planeta: M;
  • raio do planeta: R;
  • a esfera é solta a partir do repouso na superfície (ou seja, na distância R do centro) e pode mover-se no túnel retilíneo que passa pelo centro até a outra extremidade.
    O objetivo final é achar o período T desse movimento.

Passo 2

(Observação/pressuposto necessário) Para resolver o problema é preciso assumir que o planeta tem densidade uniforme (ou seja, é homogêneo). Sem essa hipótese a distribuição de massa interna não é conhecida e não é possível obter uma expressão única apenas em termos de M e R. Vou, portanto, assumir densidade uniforme — essa é a hipótese padrão nesse problema clássico.

Passo 3

Conceito importante: teorema das cascas esféricas (teorema de Newton). Ele diz, para uma esfera de densidade esférica:
  • A massa que está fora da esfera de raio r não exerce força gravitacional resultante sobre um ponto que esteja a distância r do centro (as contribuições se cancelam).
  • A força gravitacional que age em um ponto interior a uma esfera homogênea depende apenas da massa contida na esfera de raio r (a chamada massa “encapsulada” ou massa interna).
    Isso permite calcular a força gravitacional sobre a esfera em qualquer ponto interno apenas usando a massa interna M_{\text{int}}(r).

Passo 4

Cálculo da densidade média do planeta. Se a densidade é uniforme, \rho vale:
\rho = \frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}.
Explico: o volume da esfera é \tfrac{4}{3}\pi R^3. Dividindo a massa total M por esse volume obtemos a densidade \rho.

Passo 5

Cálculo da massa contida dentro de um raio r\le R. Usando a densidade \rho:
M_{\text{int}}(r)=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^3.
Substituindo \rho da etapa anterior:
M_{\text{int}}(r)=\frac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = M\frac{r^3}{R^3}.

Passo 6

Força gravitacional sobre a esfera quando ela está a uma distância r do centro (com r\le R). A intensidade da força é dada pela lei da gravitação universal usando apenas M_{\text{int}}(r):
F = G\frac{m\,M_{\text{int}}(r)}{r^2}.
Substituindo M_{\text{int}}(r)=M\frac{r^3}{R^3} obtemos
F = G\frac{m \, M \, r^3 / R^3}{r^2} = G\frac{m M}{R^3}\, r.
Como a força aponta em direção ao centro, a forma vetorial (ou com sinal) é de restauração:
F_r = -G\frac{m M}{R^3}\, r,
onde o sinal negativo indica que a força é dirigida para o centro (oposta ao deslocamento radial r).

Passo 7

Escolha de coordenada e equação de movimento. Coloco um eixo x ao longo do túnel, com origem no centro do planeta; então a posição da esfera é x(t) e r=|x|, mas a componente da força ao longo do eixo é simplesmente proporcional a x com sinal de restauração. Aplicando a segunda lei de Newton na direção do eixo:
m\frac{d^2 x}{dt^2} = -G\frac{m M}{R^3}\, x.
Cancelo o m dos dois lados:
\frac{d^2 x}{dt^2} + \left(\frac{G M}{R^3}\right) x = 0.
Essa é exatamente a equação do movimento harmônico simples padrão:
\frac{d^2 x}{dt^2} + \omega^2 x = 0,
onde
\omega^2 = \frac{G M}{R^3}.

Passo 8

Solução e período. A solução geral do EDO do tipo d^2x/dt^2 + \omega^2 x=0 é x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t). Com as condições iniciais do enunciado (solta-se a esfera do repouso no extremo: x(0)=R e \dot x(0)=0) obtém-se A=R e B=0, logo
x(t)=R\cos(\omega t).
O período do movimento harmônico simples é dado por
T = \frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega=\sqrt{\dfrac{G M}{R^3}} resulta
T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{G M}}.

Passo 9

Comentário final (insight útil). Observações importantes:
  • O período T não depende da massa da esfera m: ela cancela nas equações (como em queda livre).
  • Se preferir escrever em função da densidade \rho, usando \omega^2=\tfrac{4}{3}\pi G\rho, obtém-se a forma alternativa
T = 2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G \rho}}.
Assim, para um planeta homogêneo o período depende apenas da densidade média, não do tamanho absoluto.

Resposta

T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{G M}}.

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