- Um técnico em manutenção de elevadores está sentado no topo de uma cabine de elevador de massa
no poço de um edifício. Um cabo de aço de comprimento
e massa
sustenta a cabine. O técnico envia um sinal para seu colega no topo do poço do elevador batendo com seu martelo no cabo do elevador. Quanto tempo levará para que o pulso gerado pelo martelo suba pelo cabo ? Dados: massa do técnico vale
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pedido: determinar o tempo que o pulso gerado pelo martelo demora para subir pelo cabo desde o topo da cabine até o topo do poço.
- Dados fornecidos:
- massa da cabine:
; - comprimento do cabo:
; - massa do cabo:
; - massa do técnico:
.
- massa da cabine:
- Parâmetro físico necessário (não numérico no enunciado): aceleração da gravidade
. - Observação de posição (para fixar notação): o pulso é gerado na extremidade inferior do cabo (onde a cabine está) e percorre o cabo até a extremidade superior (topo do poço).
Passo 2
Entendendo o conceito físico fundamental: velocidade de propagação de uma onda em um cabo tenso.
- Para uma corda ou cabo tenso, a velocidade local de uma pequena perturbação transverse é dada por
onde:
-
é a tensão local no cabo (força, em newtons), -
é a densidade linear de massa do cabo (massa por comprimento, em ). - Explicação rápida do porquê: a equação de onda linear para uma corda leva a essa forma porque a aceleração transversal é proporcional à curvatura (força por unidade comprimento ~
) e inversamente proporcional à massa por unidade comprimento ( ). Para nossos objetivos basta usar essa fórmula. - Aqui a tensão
não é necessariamente a mesma em todo o cabo, porque o cabo tem massa: a tensão varia com a posição, já que cada ponto sustenta o peso das partes que estão abaixo dele.
Passo 3
Definir coordenada e escrever a tensão ao longo do cabo.
- Tomar coordenada
contada a partir do topo do cabo para baixo: no topo, na extremidade inferior (ligada à cabine). - A massa de cabo por unidade de comprimento é
- A tensão em um ponto a uma distância
do topo é igual ao peso de tudo que está abaixo desse ponto: a cabine ( ), o técnico ( ) e a porção do cabo abaixo desse ponto (comprimento , massa ). Portanto
- Substituindo
obtemos uma forma prática:
Passo 4
Expressar o tempo de viagem como integral usando a velocidade local.
- Em um elemento infinitesimal
o tempo correspondente é . - Como
, o tempo total para ir de (parte inferior) até (topo) é
- Substituindo
e a expressão de temos explicitamente
Passo 5
Resolver a integral passo a passo (álgebra explícita).
- Para simplificar a integral, escrevemos
, com
- Assim a integral vira
- Calcular a primitiva: como
, segue que
- Avaliando de
a :
- Note que
(pois o termo do cabo fica subtraído), então
Passo 6
Combinar resultados e simplificar para obter a fórmula final.
- Substituindo a integral no
:
- Lembrando
, temos . Então
- Fazer simplificações algébricas envolvendo
e fatores de :
- Essa é a expressão fechada para o tempo de subida do pulso, em função de
, , , e .
Passo 7
Interpretação física e checagem rápida (para usar na prova sem calculadora).
- A expressão mostra que o tempo depende da diferença entre as raízes quadradas das massas totais suportadas no topo e na base:
. - Limite físico útil: se a massa do cabo
for muito menor que , expandindo a raiz em série de Taylor obtém-se
o que coincide com o tempo calculado assumindo tensão aproximadamente constante igual a
(caso do cabo praticamente sem massa).
- Observação de validade: a fórmula usa a expressão linearizada para velocidade de onda
, válida para pequenas amplitudes da perturbação e para um cabo que permanece vertical e tenso. Essas são hipóteses normalmente aceitáveis no problema clássico.
Passo 8
Mensagem final de incentivo (rapidinho)
- Pronto — a integral dá uma resposta fechada e simples de decorar para a prova. Se ficar nervoso, lembra: escreva a velocidade local
, escreva como peso abaixo do ponto e monte a integral . Refaça esses passos na prova e vai dar certo. Boa sorte — você consegue!