1. Um técnico em manutenção de elevadores está sentado no topo de uma cabine de elevador de massa M no poço de um edifício. Um cabo de aço de comprimento L e massa m sustenta a cabine. O técnico envia um sinal para seu colega no topo do poço do elevador batendo com seu martelo no cabo do elevador. Quanto tempo levará para que o pulso gerado pelo martelo suba pelo cabo ? Dados: massa do técnico vale m_{t}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: determinar o tempo que o pulso gerado pelo martelo demora para subir pelo cabo desde o topo da cabine até o topo do poço.
  • Dados fornecidos:
    • massa da cabine: M;
    • comprimento do cabo: L;
    • massa do cabo: m;
    • massa do técnico: m_{t}.
  • Parâmetro físico necessário (não numérico no enunciado): aceleração da gravidade \,g.
  • Observação de posição (para fixar notação): o pulso é gerado na extremidade inferior do cabo (onde a cabine está) e percorre o cabo até a extremidade superior (topo do poço).

Passo 2

Entendendo o conceito físico fundamental: velocidade de propagação de uma onda em um cabo tenso.
  • Para uma corda ou cabo tenso, a velocidade local de uma pequena perturbação transverse é dada por
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde:
  • T é a tensão local no cabo (força, em newtons),
  • \mu é a densidade linear de massa do cabo (massa por comprimento, em \mathrm{kg/m}).
  • Explicação rápida do porquê: a equação de onda linear para uma corda leva a essa forma porque a aceleração transversal é proporcional à curvatura (força por unidade comprimento ~ T) e inversamente proporcional à massa por unidade comprimento ( \mu). Para nossos objetivos basta usar essa fórmula.
  • Aqui a tensão T não é necessariamente a mesma em todo o cabo, porque o cabo tem massa: a tensão varia com a posição, já que cada ponto sustenta o peso das partes que estão abaixo dele.

Passo 3

Definir coordenada e escrever a tensão ao longo do cabo.
  • Tomar coordenada z contada a partir do topo do cabo para baixo: z=0 no topo, z=L na extremidade inferior (ligada à cabine).
  • A massa de cabo por unidade de comprimento é
\mu=\dfrac{m}{L}.
  • A tensão em um ponto a uma distância z do topo é igual ao peso de tudo que está abaixo desse ponto: a cabine ( M), o técnico ( m_{t}) e a porção do cabo abaixo desse ponto (comprimento L-z, massa \mu(L-z)). Portanto
T(z)=\bigl(M + m_{t} + \mu(L-z)\bigr)g.
  • Substituindo \mu=\dfrac{m}{L} obtemos uma forma prática:
T(z)=\biggl(M + m_{t} + m\!\left(1-\dfrac{z}{L}\right)\biggr)g.

Passo 4

Expressar o tempo de viagem como integral usando a velocidade local.
  • Em um elemento infinitesimal dz o tempo correspondente é dt=\dfrac{dz}{v(z)}.
  • Como v(z)=\sqrt{\dfrac{T(z)}{\mu}}, o tempo total para ir de z=L (parte inferior) até z=0 (topo) é
t=\int_{0}^{L}\dfrac{dz}{v(z)}=\int_{0}^{L}\sqrt{\dfrac{\mu}{T(z)}}\,dz.
  • Substituindo \mu=\dfrac{m}{L} e a expressão de T(z) temos explicitamente
t=\sqrt{\dfrac{m}{L}}\int_{0}^{L}\dfrac{dz}{\sqrt{\bigl(M + m_{t} + m(1-\dfrac{z}{L})\bigr)g}}.

Passo 5

Resolver a integral passo a passo (álgebra explícita).
  • Para simplificar a integral, escrevemos T(z)=\bigl(A - B z\bigr), com
A=(M + m_{t} + m)g,\qquad B=\dfrac{m g}{L}.
  • Assim a integral vira
t=\sqrt{\dfrac{m}{L}}\int_{0}^{L}\dfrac{dz}{\sqrt{A-Bz}}.
  • Calcular a primitiva: como \dfrac{d}{dz}\sqrt{A-Bz}=-\dfrac{B}{2\sqrt{A-Bz}}, segue que
\int \dfrac{dz}{\sqrt{A-Bz}} = -\dfrac{2}{B}\sqrt{A-Bz} + C.
  • Avaliando de z=0 a z=L:
\int_{0}^{L}\dfrac{dz}{\sqrt{A-Bz}} = -\dfrac{2}{B}\bigl(\sqrt{A-BL}-\sqrt{A}\bigr) = \dfrac{2}{B}\bigl(\sqrt{A}-\sqrt{A-BL}\bigr).
  • Note que A-BL=(M + m_{t})g (pois o termo m do cabo fica subtraído), então
\sqrt{A}=\sqrt{(M + m_{t} + m)g},\qquad \sqrt{A-BL}=\sqrt{(M + m_{t})g}.

Passo 6

Combinar resultados e simplificar para obter a fórmula final.
  • Substituindo a integral no t:
t=\sqrt{\dfrac{m}{L}}\cdot\dfrac{2}{B}\Bigl(\sqrt{A}-\sqrt{A-BL}\Bigr).
  • Lembrando B=\dfrac{m g}{L}, temos \dfrac{2}{B}=\dfrac{2L}{m g}. Então
t=\sqrt{\dfrac{m}{L}}\cdot \dfrac{2L}{m g}\Bigl(\sqrt{(M + m_{t} + m)g}-\sqrt{(M + m_{t})g}\Bigr).
  • Fazer simplificações algébricas envolvendo \sqrt{m/L} e fatores de g:
t=\dfrac{2\sqrt{L}}{\sqrt{m g}}\left(\sqrt{M + m_{t} + m}-\sqrt{M + m_{t}}\right).
  • Essa é a expressão fechada para o tempo de subida do pulso, em função de M, m, m_{t}, L e g.

Passo 7

Interpretação física e checagem rápida (para usar na prova sem calculadora).
  • A expressão mostra que o tempo depende da diferença entre as raízes quadradas das massas totais suportadas no topo e na base: \sqrt{M+m_{t}+m}-\sqrt{M+m_{t}}.
  • Limite físico útil: se a massa do cabo m for muito menor que M+m_{t}, expandindo a raiz em série de Taylor obtém-se
t\approx \dfrac{\sqrt{mL}}{\sqrt{(M+m_{t})g}},
o que coincide com o tempo calculado assumindo tensão aproximadamente constante igual a (M+m_{t})g (caso do cabo praticamente sem massa).
  • Observação de validade: a fórmula usa a expressão linearizada para velocidade de onda \,v=\sqrt{T/\mu}, válida para pequenas amplitudes da perturbação e para um cabo que permanece vertical e tenso. Essas são hipóteses normalmente aceitáveis no problema clássico.

Passo 8

Mensagem final de incentivo (rapidinho)
  • Pronto — a integral dá uma resposta fechada e simples de decorar para a prova. Se ficar nervoso, lembra: escreva a velocidade local v=\sqrt{T/\mu}, escreva T(z) como peso abaixo do ponto e monte a integral t=\int dz/v. Refaça esses passos na prova e vai dar certo. Boa sorte — você consegue!

Resposta

t=\dfrac{2\sqrt{L}}{\sqrt{m g}}\Bigl(\sqrt{M + m_{t} + m}\;-\;\sqrt{M + m_{t}}\Bigr)

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