Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções:
Passo 1
O que o exercício pede: fazer a decomposição em frações parciais da função racional
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Observação útil (apenas listando informação): o grau do numerador é
e o grau do denominador é
, então a função é própria (não precisamos fazer divisão polinomial antes de decompor). Também notamos que
pode ser fatorado em fatores lineares.
Passo 2
Explicando a estratégia (passo a passo, didático e sem pressa):
- Para decompor em frações parciais, primeiro identificamos os fatores irreduzíveis do denominador e escolhemos a forma dos termos correspondentes.
- O fator
é uma quadrática irreduzível sobre os reais, então o termo correspondente deve ser da forma , onde e são constantes a determinar. - O fator
fatora em (isso é só fatorar: ). Cada fator linear gera um termo do tipo e .
Portanto, a forma geral da decomposição será
onde
são constantes reais que vamos determinar.
Passo 3
Montamos a identidade polinomial multiplicando ambos os lados por
. Assim obtemos a igualdade para todo
:
Isto é uma identidade polinomial: os dois lados são polinômios iguais para todo
, então os coeficientes correspondentes são iguais.
Passo 4
Método rápido 1 — avaliar em raízes dos fatores lineares para achar
e
.
- Colocando
(isso zera os termos que contêm ):
Calculando o lado esquerdo:
.
O termo restante é . Logo
O termo restante é
- Colocando
(isso zera os termos que contêm ):
Lado esquerdo:
.
O termo restante é . Logo
O termo restante é
Passo 5
Agora precisamos de
e
. Podemos obter duas equações escolhendo dois valores convenientes de
diferentes de
e
. Vou usar
e
para simplificar contas.
Primeiro, coloque na identidade do Passo 3:
Primeiro, coloque
Simplificando:
Substituindo
e
:
Calcule
e
. Então
Passo 6
Para achar
, usamos
na identidade:
O lado esquerdo é
.
O lado direito: .
Logo
O lado direito:
Logo
Substituindo
,
,
:
Calcule
e
. Então
Isolando
:
Passo 7
Resumo dos coeficientes encontrados:
Você já pode usar essa decomposição diretamente nas transformadas (por exemplo, separar em termos que correspondem a senos, cossenos e expoentes nas transformadas inversas). Se quiser, posso também reescrever cada termo na forma mais conveniente para Fourier/Laplace/Z.