Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções:
F(x)=\frac{x^{2}+3 x+5}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4 x+3\right)}

Passo 1

O que o exercício pede: fazer a decomposição em frações parciais da função racional
F(x)=\frac{x^{2}+3x+5}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4x+3\right)}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{numerador: }x^{2}+3x+5,
\text{denominador: }\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4x+3\right).
Observação útil (apenas listando informação): o grau do numerador é 2 e o grau do denominador é 4, então a função é própria (não precisamos fazer divisão polinomial antes de decompor). Também notamos que x^{2}+4x+3 pode ser fatorado em fatores lineares.

Passo 2

Explicando a estratégia (passo a passo, didático e sem pressa):
  • Para decompor em frações parciais, primeiro identificamos os fatores irreduzíveis do denominador e escolhemos a forma dos termos correspondentes.
  • O fator \left(x^{2}+1\right) é uma quadrática irreduzível sobre os reais, então o termo correspondente deve ser da forma \dfrac{Ax+B}{x^{2}+1}, onde A e B são constantes a determinar.
  • O fator x^{2}+4x+3 fatora em (x+1)(x+3) (isso é só fatorar: x^2+4x+3 = x^2 + x + 3x +3 = (x+1)(x+3)). Cada fator linear gera um termo do tipo \dfrac{C}{x+1} e \dfrac{D}{x+3}.
    Portanto, a forma geral da decomposição será
\frac{x^{2}+3x+5}{(x^{2}+1)(x+1)(x+3)}=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x+3},
onde A,B,C,D são constantes reais que vamos determinar.

Passo 3

Montamos a identidade polinomial multiplicando ambos os lados por (x^{2}+1)(x+1)(x+3). Assim obtemos a igualdade para todo x:
x^{2}+3x+5=(Ax+B)(x+1)(x+3)+C(x^{2}+1)(x+3)+D(x^{2}+1)(x+1).
Isto é uma identidade polinomial: os dois lados são polinômios iguais para todo x, então os coeficientes correspondentes são iguais.

Passo 4

Método rápido 1 — avaliar em raízes dos fatores lineares para achar C e D.
  • Colocando x=-1 (isso zera os termos que contêm (x+1)):
(-1)^{2}+3(-1)+5= (A(-1)+B)\cdot 0 + C\big((-1)^{2}+1\big)((-1)+3)+D\cdot 0.
Calculando o lado esquerdo: 1-3+5=3.
O termo restante é C(1+1)(2)=C\cdot 4. Logo
4C=3 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{3}{4}.
  • Colocando x=-3 (isso zera os termos que contêm (x+3)):
(-3)^{2}+3(-3)+5= (A(-3)+B)\cdot 0 + C\cdot 0 + D\big((-3)^{2}+1\big)((-3)+1).
Lado esquerdo: 9-9+5=5.
O termo restante é D(9+1)(-2)=D\cdot 10\cdot(-2)=-20D. Logo
-20D=5 \quad\Rightarrow\quad D=-\frac{1}{4}.

Passo 5

Agora precisamos de A e B. Podemos obter duas equações escolhendo dois valores convenientes de x diferentes de -1 e -3. Vou usar x=0 e x=1 para simplificar contas.
Primeiro, coloque x=0 na identidade do Passo 3:
0^{2}+3\cdot0+5 = (A\cdot0+B)(0+1)(0+3)+C(0^{2}+1)(0+3)+D(0^{2}+1)(0+1).
Simplificando:
5 = B\cdot 1\cdot 3 + C\cdot 1\cdot 3 + D\cdot 1\cdot 1.
Substituindo C=\tfrac{3}{4} e D=-\tfrac{1}{4}:
5 = 3B + 3\cdot\frac{3}{4} + \left(-\frac{1}{4}\right).
Calcule 3\cdot\frac{3}{4} = \frac{9}{4} e \frac{9}{4}-\frac{1}{4}=\frac{8}{4}=2. Então
5 = 3B + 2 \quad\Rightarrow\quad 3B=3 \quad\Rightarrow\quad B=1.

Passo 6

Para achar A, usamos x=1 na identidade:
1^{2}+3\cdot1+5 = (A\cdot1+B)(1+1)(1+3)+C(1^{2}+1)(1+3)+D(1^{2}+1)(1+1).
O lado esquerdo é 1+3+5=9.
O lado direito: (A+B)\cdot 2\cdot 4 + C\cdot 2\cdot 4 + D\cdot 2\cdot 2.
Logo
9 = 8(A+B) + 8C + 4D.
Substituindo B=1, C=\tfrac{3}{4}, D=-\tfrac{1}{4}:
9 = 8(A+1) + 8\cdot\frac{3}{4} + 4\cdot\left(-\frac{1}{4}\right).
Calcule 8\cdot\frac{3}{4}=6 e 4\cdot(-\tfrac{1}{4})=-1. Então
9 = 8(A+1) + 6 -1 = 8(A+1) + 5.
Isolando A:
9 - 5 = 8(A+1) \quad\Rightarrow\quad 4 = 8(A+1) \quad\Rightarrow\quad A+1=\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{2}.

Passo 7

Resumo dos coeficientes encontrados:
A=-\frac{1}{2},\qquad B=1,\qquad C=\frac{3}{4},\qquad D=-\frac{1}{4}.
Você já pode usar essa decomposição diretamente nas transformadas (por exemplo, separar em termos que correspondem a senos, cossenos e expoentes nas transformadas inversas). Se quiser, posso também reescrever cada termo na forma mais conveniente para Fourier/Laplace/Z.

Resposta

\frac{x^{2}+3x+5}{(x^{2}+1)(x^{2}+4x+3)} = \frac{-\tfrac{1}{2}x+1}{x^{2}+1}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+3}

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