A aplicação
, dada por
, é linear? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação
definida por
. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, precisamos lembrar quais são as propriedades que uma transformação deve ter para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores
e todo escalar
:
- Adição:
- Homogeneidade:
Passo 3
Agora, vamos testar se
satisfaz essas duas propriedades.
Primeiro, a homogeneidade:
Vamos pegar um escalar e um vetor
.
Vamos pegar um escalar
Agora, calculemos
:
Comparando os dois resultados:
Vemos que
não é igual a
, a menos que
ou
. Portanto, a homogeneidade não é satisfeita em geral.
Passo 4
Mesmo que a homogeneidade falhe, vamos verificar a adição para confirmar:
Pegue dois vetores e
.
Pegue dois vetores
Agora, calculemos
:
Comparando:
ou seja zero), então a adição também não é satisfeita.
ou
Resposta
Como a transformação
não satisfaz as propriedades de homogeneidade e adição necessárias, ela NÃO é linear.