A aplicação T: R^2 R^2, dada por T(x, y)=(x^2, y), é linear? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (x^2, y) . O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, precisamos lembrar quais são as propriedades que uma transformação deve ter para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T é linear se ela satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores u, v e todo escalar c :
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u)

Passo 3

Agora, vamos testar se T(x, y) = (x^2, y) satisfaz essas duas propriedades.
Primeiro, a homogeneidade:
Vamos pegar um escalar c e um vetor (x, y) .
T(c(x, y)) = T(cx, cy) = ((cx)^2, cy) = (c^2x^2, cy)
Agora, calculemos cT(x, y) :
cT(x, y) = c(x^2, y) = (cx^2, cy)
Comparando os dois resultados:
T(c(x, y)) = (c^2x^2, cy)
cT(x, y) = (cx^2, cy)
Vemos que c^2x^2 não é igual a cx^2 , a menos que c = 0 ou x = 0 . Portanto, a homogeneidade não é satisfeita em geral.

Passo 4

Mesmo que a homogeneidade falhe, vamos verificar a adição para confirmar:
Pegue dois vetores e .
Agora, calculemos :
Comparando:
ou seja zero), então a adição também não é satisfeita.

Resposta

Como a transformação T(x, y) = (x^2, y) não satisfaz as propriedades de homogeneidade e adição necessárias, ela NÃO é linear.

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