Verifique se a transformação T: R^2 R^2, definida por T(x, y)=(2 x, y-x), é linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a transformação T: R^2 R^2 , definida por T(x, y) = (2x, y - x) , é linear.
Matéria envolvida: Transformações lineares.
O que vamos precisar: Saber o que caracteriza uma transformação linear e verificar se T satisfaz essas características.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação T: R^n R^m é linear se, para quaisquer vetores u, v em R^n e qualquer escalar c , as duas condições seguintes são verdadeiras:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade (ou Escalonamento): T(cu) = cT(u)
Vamos verificar essas duas condições para a transformação T(x, y) = (2x, y - x) .

Passo 3

Verificando a Adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer u = (x1, y1) e v = (x2, y2) .
Primeiro, calculamos u + v = (x1 + x2, y1 + y2) .
Aplicando a transformação T nesse vetor:
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2), (y1 + y2) - (x1 + x2)) = (2x1 + 2x2, y1 + y2 - x1 - x2)
Agora, vamos calcular T(u) + T(v) :
T(u) = T(x1, y1) = (2x1, y1 - x1)
T(v) = T(x2, y2) = (2x2, y2 - x2)
T(u) + T(v) = (2x1 + 2x2, (y1 - x1) + (y2 - x2)) = (2x1 + 2x2, y1 + y2 - x1 - x2)
Observamos que:
T(u + v) = T(u) + T(v)
Então, a condição de adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um vetor u = (x, y) e um escalar c .
Primeiro, calculamos cu = (cx, cy) .
Aplicando a transformação T nesse vetor:
T(cu) = T(cx, cy) = (2(cx), cy - cx) = (2cx, cy - cx)
Agora, vamos calcular cT(u) :
T(u) = T(x, y) = (2x, y - x)
cT(u) = c(2x, y - x) = (c cdot 2x, c(y - x)) = (2cx, cy - cx)
Observamos que:
T(cu) = cT(u)
Então, a condição de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a transformação T(x, y) = (2x, y - x) satisfaz tanto a condição de adição quanto a de homogeneidade, ela é uma transformação linear.

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