Verifique se a transformação
, definida por
, é linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a transformação
, definida por
, é linear.
Matéria envolvida: Transformações lineares.
O que vamos precisar: Saber o que caracteriza uma transformação linear e verificar se
satisfaz essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as duas condições seguintes são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade (ou Escalonamento):
Vamos verificar essas duas condições para a transformação
.
Passo 3
Verificando a Adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer
e
.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando a transformação
nesse vetor:
Agora, vamos calcular
:
Observamos que:
Então, a condição de adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um vetor
e um escalar
.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando a transformação
nesse vetor:
Agora, vamos calcular
:
Observamos que:
Então, a condição de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a transformação
satisfaz tanto a condição de adição quanto a de homogeneidade, ela é uma transformação linear.