A aplicação
, dada por
, é linear? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a aplicação
, definida por
, é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve obedecer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma aplicação
é dita linear se ela satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores
e
e para todo escalar
:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Ou seja, a transformação preserva a estrutura de adição e de multiplicação por escalar do espaço vetorial.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade: a adição de vetores. Seja
e
. Calculando
:
Agora, calculando
:
Comparando os dois resultados, vemos que
não é igual a
em geral. Por exemplo, se
, então
enquanto
, que nesse caso coincide, mas para
e
:
Como 32 não é igual a 12, a propriedade não é satisfeita.
Passo 4
Vamos agora verificar a segunda propriedade: a multiplicação por escalar. Seja
um número real e
. Calculando
:
E agora, calculando
:
Comparando novamente, o primeiro componente
não é igual a
em geral. Por exemplo, se
e
:
Como 3 não é igual a 2, essa propriedade também não é satisfeita.
Resposta
Como a aplicação
não satisfaz as propriedades de adição de vetores e de multiplicação por escalar necessárias para ser uma transformação linear,
não é uma transformação linear.