A aplicação T: R^2 R^2, dada por T(x, y)=(2^x-1,-2 y), é linear? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a aplicação T: R^2 R^2 , definida por T(x, y) = (2^x - 1, -2y) , é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve obedecer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, uma aplicação T é dita linear se ela satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores u e v e para todo escalar c :
  1. Adição de Vetores: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por Escalar: T(cu) = cT(u)
Ou seja, a transformação preserva a estrutura de adição e de multiplicação por escalar do espaço vetorial.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade: a adição de vetores. Seja u = (x1, y1) e v = (x2, y2) . Calculando T(u + v) :
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (2^x1 + x2 - 1, -2(y1 + y2))
Agora, calculando T(u) + T(v) :
T(u) + T(v) = (2^x1 - 1, -2y1) + (2^x2 - 1, -2y2) = (2^x1 + 2^x2 - 2, -2(y1 + y2))
Comparando os dois resultados, vemos que 2^x1 + x2 não é igual a 2^x1 + 2^x2 em geral. Por exemplo, se x1 = x2 = 1 , então 2^1+1 = 4 enquanto 2^1 + 2^1 = 2 + 2 = 4 , que nesse caso coincide, mas para x1 = 2 e x2 = 3 :
2^2+3 = 32 e 2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12
Como 32 não é igual a 12, a propriedade não é satisfeita.

Passo 4

Vamos agora verificar a segunda propriedade: a multiplicação por escalar. Seja c um número real e u = (x, y) . Calculando T(cu) :
T(cu) = T(cx, cy) = (2^cx - 1, -2(cy)) = (2^cx - 1, -2c y)
E agora, calculando cT(u) :
cT(u) = c(2^x - 1, -2y) = c(2^x - 1), c(-2y) = (c2^x - c, -2c y)
Comparando novamente, o primeiro componente 2^cx - 1 não é igual a c2^x - c em geral. Por exemplo, se c = 2 e x = 1 :
2^2 times 1 - 1 = 4 - 1 = 3 e 2 times 2^1 - 2 = 4 - 2 = 2
Como 3 não é igual a 2, essa propriedade também não é satisfeita.

Resposta

Como a aplicação T(x, y) = (2^x - 1, -2y) não satisfaz as propriedades de adição de vetores e de multiplicação por escalar necessárias para ser uma transformação linear, T não é uma transformação linear.

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