A aplicação
, dada por
, é linear? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função chamada
que pega um vetor no plano
e transforma ele em outro vetor também no plano
. A função é definida por
. A pergunta é: será que essa função é uma transformação linear? Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que caracteriza uma transformação linear e verificar se a função
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores
em
e para todo escalar
:
- Adição vetorial:
- Multiplicação por escalar:
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero ao vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar se a função
atende a essas propriedades. Primeiro, vamos ver o que acontece com o vetor zero.
Calculando
:
Mas, para ser linear, precisamos que
. Aqui já vemos que não é o caso, pois
.
Passo 4
Além disso, vamos testar uma das propriedades para confirmar. Vamos verificar a adição vetorial.
Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Claramente,
porque
.
Passo 5
O termo constante “+1” na função
está quebrando a linearidade. Transformações lineares não podem ter termos constantes; elas devem ser “puramente” baseadas em combinações lineares dos vetores de entrada.
Resposta
Não, a aplicação
não é linear porque não satisfaz as propriedades necessárias de uma transformação linear, como levar o vetor zero ao vetor zero e preservar a adição vetorial.