A aplicação T: R^2 R^2, dada por T(x, y)=(x, 2 y+1), é linear? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função chamada T que pega um vetor no plano R^2 e transforma ele em outro vetor também no plano R^2. A função é definida por T(x, y) = (x, 2y + 1) . A pergunta é: será que essa função é uma transformação linear? Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que caracteriza uma transformação linear e verificar se a função T satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T: R^2 R^2 é linear se ela satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores u, v em R^2 e para todo escalar c :
  1. Adição vetorial: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Além disso, uma transformação linear sempre leva o vetor zero ao vetor zero, ou seja, T(0) = 0 .

Passo 3

Vamos verificar se a função T(x, y) = (x, 2y + 1) atende a essas propriedades. Primeiro, vamos ver o que acontece com o vetor zero.
Calculando T(0, 0) :
T(0, 0) = (0, 2 cdot 0 + 1) = (0, 1)
Mas, para ser linear, precisamos que T(0, 0) = (0, 0) . Aqui já vemos que não é o caso, pois T(0, 0) = (0, 1) neq (0, 0) .

Passo 4

Além disso, vamos testar uma das propriedades para confirmar. Vamos verificar a adição vetorial.
Seja u = (x1, y1) e v = (x2, y2) . Então:
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2, 2(y1 + y2) + 1) = (x1 + x2, 2y1 + 2y2 + 1)
Por outro lado:
T(u) + T(v) = (x1, 2y1 + 1) + (x2, 2y2 + 1) = (x1 + x2, 2y1 + 2y2 + 2)
Claramente, T(u + v) neq T(u) + T(v) porque 2y1 + 2y2 + 1 neq 2y1 + 2y2 + 2 .

Passo 5

O termo constante “+1” na função T(x, y) está quebrando a linearidade. Transformações lineares não podem ter termos constantes; elas devem ser “puramente” baseadas em combinações lineares dos vetores de entrada.

Resposta

Não, a aplicação T(x, y) = (x, 2y + 1) não é linear porque não satisfaz as propriedades necessárias de uma transformação linear, como levar o vetor zero ao vetor zero e preservar a adição vetorial.

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