A transformação T: R^2 R^2, definida por T(x, y)=(cos (x)-1, y), é linear? Justifique.

Passo 1

O enunciado define TcolonR^2toR^2 por
T(x,y) = (cos(x)-1,;y)
Queremos verificar se T é linear, ou seja, se para todos (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e todo escalar lambda valem
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r)=T(x1,y1)+T(x2,y2) e Tl(lambda,(x,y)r)=lambda,T(x,y)

Passo 2

Verifiquemos a aditividade em forma geral. Para (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) temos
T(x1+x2,;y1+y2) = l(cos(x1+x2)-1,;y1+y2r),
enquanto
T(x1,y1)+T(x2,y2) = l(cos(x1)-1,;y1r) + l(cos(x2)-1,;y2r) = l(cos(x1)+cos(x2)-2,;y1+y2r)
Para ser linear precisaríamos
cos(x1+x2)-1 ;=; cos(x1)+cos(x2)-2
para todo x1,x2, o que não é verdade em geral.

Passo 3

Basta um contraexemplo numérico. Seja (x1,y1)=(pi,0) e (x2,y2)=(pi,0). Então
T(2pi,0)=T(pi+pi,0) = (cos(2pi)-1,,0) = (1-1,,0)=(0,0),
mas
T(pi,0)+T(pi,0) = (-1-1,,0)+(-1-1,,0) = (-2,0)+(-2,0) = (-4,0)neq(0,0)
Logo a aditividade falha.

Passo 4

Como T não satisfaz aditividade, T não pode ser linear. (Bastou uma falha em aditividade para concluir.)

Resposta

A transformação T não é linear.

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