(Aplicação em Energia Eólica)
A energia produzida por uma turbina eólica pode ser aproximada por:
\mathrm{E}(v, \mathrm{t})=0,5 v^{3} \mathrm{t}
onde:
  • E é a energia produzida;
  • v é a velocidade do vento;
  • t é o tempo de funcionamento.
Calcule:
\frac{\partial E}{\partial v}

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula da energia produzida pela turbina:
E(v,t)=0,5\,v^{3}\,t.
As informações relevantes:
  • E é a energia produzida;
  • v é a velocidade do vento (variável em que vamos derivar);
  • t é o tempo de funcionamento (aqui tratado como constante ao derivar em relação a v).
    O que se pede: calcular \dfrac{\partial E}{\partial v}, a derivada parcial de E em relação a v.

Passo 2

O que é uma derivada parcial aqui?
Quando temos uma função de duas variáveis E(v,t), a derivada parcial \dfrac{\partial E}{\partial v} mede como E varia quando só v muda e t fica fixo. Ou seja, ao calcular \dfrac{\partial E}{\partial v} tratamos t como uma constante, exatamente como se fosse um número qualquer multiplicando a função de v.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar:
  • Regra do fator constante: \dfrac{d}{dv}\big(c\cdot f(v)\big)=c\cdot \dfrac{d}{dv}f(v) quando c é constante (aqui t e 0,5 são constantes em relação a v).
  • Regra da potência (power rule): \dfrac{d}{dv}\big(v^{n}\big)=n\,v^{n-1} para n real (aqui n=3).

Passo 4

Aplicando as regras passo a passo à função dada:
\frac{\partial}{\partial v}\big(0,5\,v^{3}\,t\big).
Como 0,5 e t são constantes em relação a v, podem ser tirados como fator:
\frac{\partial}{\partial v}\big(0,5\,v^{3}\,t\big)=0,5\,t\cdot\frac{d}{dv}\big(v^{3}\big).
Agora use a regra da potência com n=3:
\frac{d}{dv}\big(v^{3}\big)=3\,v^{2}.
Substituindo:
\frac{\partial E}{\partial v}=0,5\,t\cdot 3\,v^{2}.
Multiplicando os números:
0,5\cdot 3=1,5,
portanto
\frac{\partial E}{\partial v}=1,5\,t\,v^{2}.
Também é comum escrever em forma de fração:
\frac{\partial E}{\partial v}=\frac{3}{2}\,t\,v^{2}.

Passo 5

Interpretação rápida e exemplo numérico para fixar: \dfrac{\partial E}{\partial v} diz quanto a energia muda por uma pequena variação em v, mantendo t fixo. Por exemplo, se v=10 e t=2,
\left.\frac{\partial E}{\partial v}\right|_{v=10,t=2}=1,5\cdot 2\cdot 10^{2}=1,5\cdot 2\cdot 100=300.
Ou seja, naquele ponto uma pequena variação de 1 na velocidade (unidade de v) mudaria a energia aproximadamente em 300 (unidades compatíveis com E).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial E}{\partial v}=\frac{3}{2}\,t\,v^{2}

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