A energia produzida por uma turbina eólica pode ser aproximada por:
\mathrm{E}(v, \mathrm{t})=0,5 v^{3} \mathrm{t}
onde:
E é a energia produzida;
v é a velocidade do vento;
t é o tempo de funcionamento.
Calcule: \frac{\partial E}{\partial v}
Passo 1
O enunciado nos dá a fórmula da energia produzida pela turbina:
E(v,t)=0,5\,v^{3}\,t.
As informações relevantes:
E é a energia produzida;
v é a velocidade do vento (variável em que vamos derivar);
t é o tempo de funcionamento (aqui tratado como constante ao derivar em relação a v).
O que se pede: calcular \dfrac{\partial E}{\partial v}, a derivada parcial de E em relação a v.
Passo 2
O que é uma derivada parcial aqui?
Quando temos uma função de duas variáveis E(v,t), a derivada parcial \dfrac{\partial E}{\partial v} mede como E varia quando só v muda e t fica fixo. Ou seja, ao calcular \dfrac{\partial E}{\partial v} tratamos t como uma constante, exatamente como se fosse um número qualquer multiplicando a função de v.
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar:
Regra do fator constante: \dfrac{d}{dv}\big(c\cdot f(v)\big)=c\cdot \dfrac{d}{dv}f(v) quando c é constante (aqui t e 0,5 são constantes em relação a v).
Regra da potência (power rule): \dfrac{d}{dv}\big(v^{n}\big)=n\,v^{n-1} para n real (aqui n=3).
Interpretação rápida e exemplo numérico para fixar: \dfrac{\partial E}{\partial v} diz quanto a energia muda por uma pequena variação em v, mantendo t fixo. Por exemplo, se v=10 e t=2,