Aplicação em Engenharia Mecânica - Braço robótico
O vetor posição de um ponto na extremidade de um braço robótico é dado por:
r(t)=a cos (theta(t)) i+a sin (theta(t)) j
com a=0,5 m, theta(t)=pi t.
a) Determine a velocidade vetorial.
b) Determine a aceleração vetorial.
c) Interprete fisicamente o resultado obtido para t=1 s.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição de um ponto na extremidade de um braço robótico
r(t)=acosl(theta(t)r),i+asinl(theta(t)r),j
com a=0,5 m e theta(t)=pi t. Pede-se:
a) a velocidade vetorial v(t), b) a aceleração vetorial a(t) e c) interpretação física em t=1 s. Vamos usar derivação de funções vetoriais e regra da cadeia.

Passo 2

Para achar a velocidade usamos
v(t)=drdt
e aplicamos a regra da cadeia em cosl(theta(t)r) e sinl(theta(t)r). Assim,
v(t) =-asinl(theta(t)r),theta'(t),i +acosl(theta(t)r),theta'(t),j
Como theta'(t)=pi, fica
v(t) =-apisin(pi t),i +apicos(pi t),j

Passo 3

Para a aceleração usamos
a(t)=dvdt
e derivamos cada componente, lembrando que theta'(t)=pi é constante. Obtém‐se
a(t) =-api^2cos(pi t),i -api^2sin(pi t),j

Passo 4

Em t=1 s, temos theta(1)=pi, cospi=-1, sinpi=0. Logo,
v(1) =-0,5pisin(pi),i +0,5picos(pi),j =0,i-0,5pi,j,
a(1) =-0,5pi^2cos(pi),i -0,5pi^2sin(pi),j =+0,5pi^2,i+0,j

Passo 5

Fisicamente, em t=1 s o braço está na posição (x,y)=(-0,5,0) m, movendo‐se com velocidade puramente vertical para baixo de módulo 0,5piapprox1,57 m/s, e sofre aceleração puramente horizontal para a direita (dirigida ao centro da rotação) de módulo 0,5pi^2approx4,93 m/s². Isso é o movimento circular uniforme: velocidade tangencial constante e aceleração centrípeta.

Resposta

a) v(t)=-0,5pisin(pi t),i+0,5picos(pi t),j.
b) a(t)=-0,5pi^2cos(pi t),i-0,5pi^2sin(pi t),j.
c) Em t=1 s o ponto está em (-0,5,0) m, movendo‐se para baixo com 0,5pi m/s e com aceleração centrípeta para a direita de 0,5pi^2 m/s².

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