Determine se as seguintes funções são contínuas por partes em [-1,5] :
f(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=1(x-2)^2
é contínua por partes no intervalo [-1,5]. Para isso, usamos a definição de função contínua por partes em [a,b]: existe uma partição
a = c0 < c1 < cdots < cn=b
tal que f seja contínua em cada intervalo aberto (ci-1,ci) e, em cada ponto de corte ci ( i=1,dots,n-1), existam limites laterais finitos.

Passo 2

Identificamos o domínio de . A expressão exige , logo
No nosso caso, restringimos a , onde pertence ao intervalo, mas não ao domínio de .

Passo 3

Em cada subintervalo sem o ponto 2, ou seja em [-1,2) e em (2,5], f é composta por operações algébricas (polinômio e recíproco) sem divisão por zero. Logo, f é contínua em todo ponto de [-1,2) e de (2,5].

Passo 4

Falta verificar o comportamento em x=2. Calculamos os limites laterais:
limxto2^- 1(x-2)^2 =limhto0^-1h^2=+infty,
limxto2^+ 1(x-2)^2 =limhto0^+1h^2=+infty
Ambos os limites laterais são infinitos, não finitos. Portanto f não satisfaz a exigência de ter limites laterais finitos em x=2.

Resposta

A função não é contínua por partes em [-1,5], pois em x=2 não existem limites laterais finitos.

Exercícios relacionados