Encontre as áreas das regiões limitadas pelos
gráficos de f(x)=x^2 e g(x)=-x^2 e as rectas verticais que passam por (-1,0) e (1,0).

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=f(x)=x^2, y=g(x)=-x^2 e pelas retas verticais x=-1 e x=1. Este é um problema de área entre duas curvas, que resolvemos usando integrais definidas:
Área=integrala^bl(função superior-função inferiorr),dx Áçãçã

Passo 2

Identificamos o intervalo de integração e qual curva fica acima da outra em [-1,1]. Para todo x em [-1,1] vale
x^2>= -x^2,
logo f(x)=x^2 é a superior e g(x)=-x^2 é a inferior.

Passo 3

Montamos a integral da área entre as curvas de x=-1 até x=1:
Área=integral-1^1l(f(x)-g(x)r),dx =integral-1^1l(x^2-(-x^2)r),dx =integral-1^12x^2,dx Á

Passo 4

Calculamos a integral:
integral-1^12x^2,dx =2integral-1^1x^2,dx =2l[tfracx^33r]-1^1 =2l(tfrac1^33-tfrac(-1)^33r) =2l(tfrac13-l(-tfrac13r)r) =2cdottfrac23 =tfrac43

Resposta

A área da região limitada por y=x^2, y=-x^2, x=-1 e x=1 é tfrac43.

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