Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Equação diferencial do tipo valor inicial:
- Condição inicial:
O que se pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial para os valores de
onde a equação está bem definida.
Passo 2
Primeiro vamos entender que tipo de equação temos e qual método vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
A equação é linear de primeira ordem na forma padrão
onde, no nosso caso,
Uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação é usar um fator integrante
. A ideia do fator integrante é multiplicar toda a equação por
de modo que o lado esquerdo vire a derivada de um produto simples, precisamente a derivada de
. Depois integramos ambos os lados e isolamos
. Vou explicar cada passo com calma.
Passo 3
Calcular o fator integrante
.
O fator integrante é dado por
Aqui
. Então calculamos a integral:
Portanto
Usando a identidade
obtemos
Como a condição inicial está em
, podemos trabalhar no intervalo onde
e então
. Logo, para nosso problema tomamos
Passo 4
Multiplicar a equação original pelo fator integrante e reconhecer a derivada de um produto.
Multiplicando ambos os lados por
temos
Simplificando o segundo termo à esquerda e o lado direito:
Agora observe que a derivada do produto
é
que é exatamente o lado esquerdo que obtivemos. Portanto podemos escrever a equação como
Essa é a grande vantagem do fator integrante: transformou a equação numa forma facilmente integrável.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
.
Integramos a igualdade
com respeito a
. A integral da derivada é o próprio produto
e a integral de
é
(mais uma constante de integração). Assim:
onde
é uma constante real desconhecida.
Passo 6
Isolar
.
Dividindo ambos os lados por
(novamente considerando
; nosso interesse é
) obtemos
Agora falta determinar a constante
usando a condição inicial.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para achar
.
Substituindo
na expressão para
:
Sabemos que
. Portanto
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
, logo
Passo 8
Escrever a solução particular final e comentar domínio e verificação rápida.
Substituindo
em
obtemos
Comentários:
- Essa função está bem definida para
. Como a condição inicial foi dada em , estamos interessados no ramo , onde a solução é única e dada por essa expressão. - Se quiser, pode verificar rapidamente que essa
satisfaz a equação original calculando (usando a regra do quociente ou derivando e dividindo por ) e substituindo na equação; a conta fecha por construção do fator integrante.
Força aí — você já tem a solução e o método. Esse mesmo procedimento (achar fator integrante
, multiplicar, reconhecer derivada de produto, integrar) resolve qualquer equação linear de primeira ordem.