Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
y^{\prime}+\left(\frac{2}{t}\right) y=\frac{\cos (t)}{t^{2}}, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Equação diferencial do tipo valor inicial:
y^{\prime}+\left(\frac{2}{t}\right) y=\frac{\cos(t)}{t^{2}}
  • Condição inicial:
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
O que se pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial para os valores de t onde a equação está bem definida.

Passo 2

Primeiro vamos entender que tipo de equação temos e qual método vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
A equação é linear de primeira ordem na forma padrão
y'+p(t)\,y=q(t),
onde, no nosso caso,
p(t)=\frac{2}{t},\qquad q(t)=\frac{\cos(t)}{t^{2}}.
Uma técnica padrão para resolver esse tipo de equação é usar um fator integrante \mu(t). A ideia do fator integrante é multiplicar toda a equação por \mu(t) de modo que o lado esquerdo vire a derivada de um produto simples, precisamente a derivada de \mu(t)y. Depois integramos ambos os lados e isolamos y. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t).
O fator integrante é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Aqui p(t)=\dfrac{2}{t}. Então calculamos a integral:
\int p(t)\,dt=\int \frac{2}{t}\,dt=2\int\frac{1}{t}\,dt=2\ln|t|.
Portanto
\mu(t)=\exp\!\big(2\ln|t|\big).
Usando a identidade \exp(a\ln b)=b^{a} obtemos
\mu(t)=|t|^{2}.
Como a condição inicial está em t=\dfrac{\pi}{2}>0, podemos trabalhar no intervalo onde t>0 e então |t|=t. Logo, para nosso problema tomamos
\mu(t)=t^{2}.

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante e reconhecer a derivada de um produto.
Multiplicando ambos os lados por t^{2} temos
t^{2}y^{\prime}+t^{2}\cdot\frac{2}{t}\,y = t^{2}\cdot\frac{\cos(t)}{t^{2}}.
Simplificando o segundo termo à esquerda e o lado direito:
t^{2}y^{\prime}+2t\,y=\cos(t).
Agora observe que a derivada do produto t^{2}y é
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big)=2t\,y+t^{2}y^{\prime},
que é exatamente o lado esquerdo que obtivemos. Portanto podemos escrever a equação como
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big)=\cos(t).
Essa é a grande vantagem do fator integrante: transformou a equação numa forma facilmente integrável.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t.
Integramos a igualdade
\frac{d}{dt}\big(t^{2}y\big)=\cos(t)
com respeito a t. A integral da derivada é o próprio produto t^{2}y e a integral de \cos(t) é \sin(t) (mais uma constante de integração). Assim:
t^{2}y=\int \cos(t)\,dt=\sin(t)+C,
onde C é uma constante real desconhecida.

Passo 6

Isolar y(t).
Dividindo ambos os lados por t^{2} (novamente considerando t\neq0; nosso interesse é t>0) obtemos
y(t)=\frac{\sin(t)+C}{t^{2}}.
Agora falta determinar a constante C usando a condição inicial.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0 para achar C.
Substituindo t=\dfrac{\pi}{2} na expressão para y(t):
0=y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)+C}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}}.
Sabemos que \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1. Portanto
0=\frac{1+C}{\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2} obtemos 1+C=0, logo
C=-1.

Passo 8

Escrever a solução particular final e comentar domínio e verificação rápida.
Substituindo C=-1 em y(t)=\dfrac{\sin(t)+C}{t^{2}} obtemos
y(t)=\frac{\sin(t)-1}{t^{2}}.
Comentários:
  • Essa função está bem definida para t\neq0. Como a condição inicial foi dada em t=\dfrac{\pi}{2}>0, estamos interessados no ramo t>0, onde a solução é única e dada por essa expressão.
  • Se quiser, pode verificar rapidamente que essa y(t) satisfaz a equação original calculando y' (usando a regra do quociente ou derivando \sin(t)-1 e dividindo por t^{2}) e substituindo na equação; a conta fecha por construção do fator integrante.
Força aí — você já tem a solução e o método. Esse mesmo procedimento (achar fator integrante \mu=\exp(\int p(t)\,dt), multiplicar, reconhecer derivada de produto, integrar) resolve qualquer equação linear de primeira ordem.

Resposta

y(t)=\frac{\sin(t)-1}{t^{2}}

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