Em uma aplicação específica que envolve o escoamento de ar sobre uma superfície aquecida, a distribuição de temperaturas na camada limite pode ser aproximada por:
\frac{T-T_{s}}{T_{\infty}-T_{s}}=1-\exp \left(-\operatorname{Pr} \frac{u_{\infty} y}{v}\right)
Onde os coeficientes y é a distância normal a superfície e \operatorname{Pr}=\frac{c_{p} \mu}{k}=0,7, é uma propriedade adimensional do fluido. Sendo T_{\infty}=400 \mathrm{~K}, T_{s}=300 \mathrm{Ke} \frac{u_{\infty}}{v}=5.000 \mathrm{~m}^{-1}, Qual o valor do fluxo térmico na parede? Se essa parede tem comprimento de 2 m , qual a taxa de transferência de calor por unidade de largura da parede?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A distribuição de temperatura na camada limite:
    \frac{T-T_{s}}{T_{\infty}-T_{s}}=1-\exp\!\left(-\operatorname{Pr}\,\frac{u_{\infty} y}{\nu}\right)
    • \operatorname{Pr}=0{,}7.
    • T_{\infty}=400\\ \mathrm{K}.
    • T_{s}=300\\ \mathrm{K}.
    • \dfrac{u_{\infty}}{\nu}=5.000\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • O que o enunciado pede:
    1. O valor do fluxo térmico na parede (fluxo por unidade de área), isto é q''_{w}.
    2. Se a parede tem comprimento 2\\ \mathrm{m}, a taxa de transferência de calor por unidade de largura da parede (isto é, a potência por unidade de largura ao longo do comprimento), normalmente denotada Q' (unidade \mathrm{W/m}).
Observação: o enunciado não fornece diretamente a condutividade térmica k. Vou primeiro obter uma expressão geral para q''_{w} em função de k e das demais grandezas dadas; em seguida apresento um cálculo numérico usando propriedades típicas do ar (justificadas porque \operatorname{Pr}=0{,}7 é típico do ar).

Passo 2

Escrever a temperatura T(y) explicitamente a partir da relação dada.
A expressão dada implica
T(y)=T_{s}+(T_{\infty}-T_{s})\left[1-\exp\!\left(-a y\right)\right],
onde, para abreviar, defino o parâmetro
a=\operatorname{Pr}\,\frac{u_{\infty}}{\nu}.
Aqui y é a distância normal à superfície ( \mathrm{m}), T(y) tem unidades de \mathrm{K}, e a tem unidades \mathrm{m^{-1}}.

Passo 3

Calcular o gradiente de temperatura normal à parede \left.\dfrac{\partial T}{\partial y}\right|_{y=0}.
Derivando T(y) em relação a y:
\frac{\partial T}{\partial y}=(T_{\infty}-T_{s})\,a\,\exp\!\left(-a y\right).
No ponto na parede, y=0, isso dá
\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{y=0}=(T_{\infty}-T_{s})\,a.

Passo 4

Recordar a lei de Fourier para o fluxo térmico na parede e a convenção de sinais.
A lei de Fourier (unidimensional na normal) diz que o fluxo de calor por unidade de área é
q''(y)=-k\,\frac{\partial T}{\partial y},
onde k é a condutividade térmica do fluido ( \mathrm{W/(m\cdot K)}). O fluxo avaliado na parede é
q''_{w}=q''(0)=-k\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{y=0}.
Substituindo o gradiente obtido no passo anterior:
q''_{w}=-k\,(T_{\infty}-T_{s})\,a.
Se for pedido o módulo (valor escalar do fluxo entrando no fluido), usa-se
\boxed{\,|q''_{w}|=k\,(T_{\infty}-T_{s})\,a\,}.

Passo 5

Calcular numericamente o parâmetro a=\operatorname{Pr}\,\dfrac{u_{\infty}}{\nu} com os dados fornecidos.
Como foi dado \dfrac{u_{\infty}}{\nu}=5.000\\ \mathrm{m^{-1}} e \operatorname{Pr}=0{,}7, temos
a=\operatorname{Pr}\,\frac{u_{\infty}}{\nu}=0{,}7\times 5.000 = 3.500\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 6

Expressar q''_{w} numericamente em função de k e calcular o gradiente numérico.
Com T_{\infty}-T_{s}=400-300=100\\ \mathrm{K} e a=3.500\\ \mathrm{m^{-1}},
\left.\frac{\partial T}{\partial y}\right|_{y=0}=(T_{\infty}-T_{s})\,a=100\times 3.500 = 350.000\\ \mathrm{K\cdot m^{-1}}.
Assim
|q''_{w}|=k\times 350.000\\ \mathrm{(W/m^{2})\\ per\\ (W/(m\cdot K))}.
Ou seja, numericamente,
|q''_{w}|=350.000\,k\quad\text{(unidade: }\mathrm{W/m^{2}}\text{)}.

Passo 7

Escolha de propriedades típicas do ar para obter um valor numérico concreto (justificação).
O enunciado não deu k explicitamente. Como \operatorname{Pr}=0{,}7 é típico do ar, é razoável usar propriedades típicas do ar numa faixa de temperatura entre 300 e 400\\ \mathrm{K}. Valores usuais aproximados:
  • c_{p}\approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
  • \mu\approx 1{,}8\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    Usando a relação \operatorname{Pr}=\dfrac{c_{p}\mu}{k} podemos estimar k:
k=\frac{c_{p}\mu}{\operatorname{Pr}}=\frac{1005\times 1{,}8\times 10^{-5}}{0{,}7}\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Calculando:
k\approx \frac{1005\times 1{,}8\times 10^{-5}}{0{,}7}\approx 0{,}0258\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Esse valor é consistente com tabelas para condutividade do ar (aprox. 0{,}025\text{–}0{,}027\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}).

Passo 8

Calcular o fluxo térmico na parede usando o k estimado.
Usando k\approx 0{,}0258\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e a expressão do passo 6:
|q''_{w}|=350.000\times 0{,}0258 \approx 9.030\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Portanto o fluxo de calor (módulo) na parede é cerca de \,9{,}03\times 10^{3}\\ \mathrm{W/m^{2}}\,.

Passo 9

Calcular a taxa de transferência de calor por unidade de largura da parede (parede com comprimento L=2\\ \mathrm{m}).
A potência por unidade de largura Q' (unidade \mathrm{W/m}) é o fluxo por área multiplicado pelo comprimento:
Q' = |q''_{w}|\times L = 9.030\\ \mathrm{W/m^{2}}\times 2\\ \mathrm{m} = 18.060\\ \mathrm{W/m}.

Passo 10

Verificação de unidades e interpretação rápida.
  • \left.\dfrac{\partial T}{\partial y}\right|_{0} em \mathrm{K/m} multiplicado por k em \mathrm{W/(m\cdot K)} \mathrm{W/m^{2}}, consistente.
  • Os valores numéricos são coerentes com um forte gradiente térmico próximo à parede (a exponencial decai rapidamente com a=3.500\\ \mathrm{m^{-1}}).

Resposta

q''_{w}\approx 9{,}03\times 10^{3}\\ \mathrm{W/m^{2}}
Q' \approx 1{,}806\times 10^{4}\\ \mathrm{W/m}

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