Num processo de tratamento térmico de têmpera com resfriamento à água, uma esfera de Aço Carbono de 10 cm de diâmetro que apresenta condutividade térmica de
, massa específica de
e calor específico de
, deixa o forno à
e é colocada repentinamente em um reservatório muito grande que contém água à
. Assumindo-se que o coeficiente de transferência de calor por convecção (constante) é de
. determine:
a) A equação da distribuição de temperaturas para a placa em função das variáveis descritas no enunciado.
b) O tempo necessário para a esfera atingir
e a energia total trocada com a água até que essa temperatura seja atingida.
c) Qual o tempo necessário para a esfera atingir a mesma temperatura do fluido? Qual quantidade de energia precisaria ser retirada da esfera?
a) A equação da distribuição de temperaturas para a placa em função das variáveis descritas no enunciado.
b) O tempo necessário para a esfera atingir
c) Qual o tempo necessário para a esfera atingir a mesma temperatura do fluido? Qual quantidade de energia precisaria ser retirada da esfera?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vou usar depois; peguei estes valores do enunciado).
Dados:
- diâmetro da esfera:
→ raio ; - condutividade térmica:
; - massa específica (densidade):
; - calor específico:
; - temperatura inicial da peça:
; - temperatura do banho (fluido):
; - coeficiente convectivo constante:
.
O enunciado pede:
a) a equação da distribuição de temperaturas (isto é, em função das variáveis do enunciado);
b) o tempo necessário para a esfera atingir e a energia total trocada com a água até esse instante;
c) o tempo para a esfera atingir a mesma temperatura do fluido e a quantidade de energia que precisaria ser retirada da esfera.
a) a equação da distribuição de temperaturas (isto é,
b) o tempo necessário para a esfera atingir
c) o tempo para a esfera atingir a mesma temperatura do fluido e a quantidade de energia que precisaria ser retirada da esfera.
Passo 2
Decisão do método e justificativa (muito importante antes de resolver): verificar se a aproximação de “lumped capacitance” (temperatura espacialmente uniforme na esfera) é válida usando o número de Biot
onde
é o comprimento característico
(volume sobre área de superfície).
Para uma esfera:
Calcular
e
:
Interpretação: como
, a aproximação de corpo oscilante (lumped capacitance) é válida. Isso significa que a temperatura dentro da esfera permanece praticamente uniforme ao longo do resfriamento e podemos usar uma equação só em
, sem dependência espacial.
Passo 3
Dedução da equação temporal (balanço de energia e solução da ODE). Energia interna da esfera:
com
. Taxa de perda de energia por convecção na superfície:
. Balanço energético:
Colocando
e separando variáveis:
Integrando de
(onde
) até
(onde
):
Daí a solução exponencial clássica:
Para a esfera pode-se simplificar porque
. Assim o expoente fica
e a fórmula específica para a esfera (na aproximação lumped) é
Aqui cada símbolo significa:
-
: temperatura uniforme da esfera no tempo ; -
: temperatura do fluido (aqui ); -
: temperatura inicial da esfera (aqui ); -
: coeficiente convectivo; -
: densidade; -
: calor específico; -
: raio da esfera.
Passo 4
Cálculo dos parâmetros numéricos úteis (volume, área, massa, constante de tempo).
Volume da esfera:
Área de superfície:
massa da esfera:
Constante do expoente (taxa de decaimento):
Calcular o tempo característico
(inverso da taxa) para facilitar:
Substituindo:
Logo a taxa é aproximadamente
Passo 5
Tempo necessário para a esfera atingir
.
Usar a fórmula:
Isolando
:
Substituir
,
,
:
Converter para minutos:
Passo 6
Energia total trocada com a água até atingir
.
A energia retirada da esfera até o tempo
é a variação de sua energia interna:
Com
,
,
:
Calcular:
Passo 7
Tempo para a esfera atingir exatamente a temperatura do fluido e energia correspondente.
A equação exponencial mostra que
quando
. Portanto:
- tempo exato para atingir
é infinito (na teoria do modelo exponencial). Em prática, define-se um critério (por exemplo diferença de ) e calcula-se o correspondente; mas matematicamente é infinito.
Energia total que precisa ser retirada da esfera para chegar a
(variação total de energia):
Substituindo
:
(Senão quiser o tempo infinito, posso calcular o tempo para ficar a uma folga prática, por exemplo a
ou a
. Diga se quiser esse número prático.)
Resposta
(a)
, e, para a esfera em lumped-capacitance,
(b)
(≈
).
(c) tempo para atingir exatamente
:
(assintoticamente).
energia a ser removida até :
(≈
).
energia a ser removida até