Num processo de tratamento térmico de têmpera com resfriamento à água, uma esfera de Aço Carbono de 10 cm de diâmetro que apresenta condutividade térmica de 60,5 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \mathrm{K}), massa específica de 7854 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e calor específico de 434 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}), deixa o forno à 750^{\circ} \mathrm{C} e é colocada repentinamente em um reservatório muito grande que contém água à 25^{\circ} \mathrm{C}. Assumindo-se que o coeficiente de transferência de calor por convecção (constante) é de 200 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). determine:
a) A equação da distribuição de temperaturas para a placa em função das variáveis descritas no enunciado.
b) O tempo necessário para a esfera atingir 50^{\circ} \mathrm{C} e a energia total trocada com a água até que essa temperatura seja atingida.
c) Qual o tempo necessário para a esfera atingir a mesma temperatura do fluido? Qual quantidade de energia precisaria ser retirada da esfera?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vou usar depois; peguei estes valores do enunciado).
Dados:
  • diâmetro da esfera: d=0,10\\ \mathrm{m} → raio r=\dfrac{d}{2}=0,05\\ \mathrm{m};
  • condutividade térmica: k=60,5\\ \mathrm{W/(\,m\\ K)};
  • massa específica (densidade): \rho=7854\\ \mathrm{kg/m^{3}};
  • calor específico: c=434\\ \mathrm{J/(kg\\ K)};
  • temperatura inicial da peça: T_{i}=750\\ ^\circ\mathrm{C};
  • temperatura do banho (fluido): T_{\infty}=25\\ ^\circ\mathrm{C};
  • coeficiente convectivo constante: h=200\\ \mathrm{W/(m^{2}\\ K)}.
O enunciado pede:
a) a equação da distribuição de temperaturas (isto é, T em função das variáveis do enunciado);
b) o tempo necessário para a esfera atingir 50\\ ^\circ\mathrm{C} e a energia total trocada com a água até esse instante;
c) o tempo para a esfera atingir a mesma temperatura do fluido e a quantidade de energia que precisaria ser retirada da esfera.

Passo 2

Decisão do método e justificativa (muito importante antes de resolver): verificar se a aproximação de “lumped capacitance” (temperatura espacialmente uniforme na esfera) é válida usando o número de Biot
\mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k},
onde L_{c} é o comprimento característico L_{c}=\dfrac{V}{A} (volume sobre área de superfície).
Para uma esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^{3},\qquad A=4\pi r^{2}\quad\Rightarrow\quad L_{c}=\frac{V}{A}=\frac{r}{3}.
Calcular L_{c} e \mathrm{Bi}:
L_{c}=\frac{r}{3}=\frac{0,05}{3}=0,016666\ldots\\ \mathrm{m}.
\mathrm{Bi}=\frac{h L_{c}}{k}=\frac{200\cdot 0,016666\ldots}{60,5}\approx 0,055.
Interpretação: como \mathrm{Bi}\approx 0,055<0,1, a aproximação de corpo oscilante (lumped capacitance) é válida. Isso significa que a temperatura dentro da esfera permanece praticamente uniforme ao longo do resfriamento e podemos usar uma equação só em t, sem dependência espacial.

Passo 3

Dedução da equação temporal (balanço de energia e solução da ODE). Energia interna da esfera: m c T com m=\rho V. Taxa de perda de energia por convecção na superfície: Q_{\dot{}} = h A (T-T_{\infty}). Balanço energético:
m c \frac{dT}{dt} = - h A (T-T_{\infty}).
Colocando m=\rho V e separando variáveis:
\frac{dT}{T-T_{\infty}} = -\frac{h A}{\rho V c}\,dt.
Integrando de t=0 (onde T=T_{i}) até t (onde T=T(t)):
\ln\!\left(\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}\right) = -\frac{h A}{\rho V c}\,t.
Daí a solução exponencial clássica:
\boxed{\,T(t)=T_{\infty}+(T_{i}-T_{\infty})\exp\!\Big(-\frac{h A}{\rho V c}\,t\Big)\,}.
Para a esfera pode-se simplificar porque \dfrac{A}{V}=\dfrac{3}{r}. Assim o expoente fica \dfrac{h A}{\rho V c}=\dfrac{3h}{\rho c r} e a fórmula específica para a esfera (na aproximação lumped) é
\boxed{\,T(t)=T_{\infty}+(T_{i}-T_{\infty})\exp\!\Big(-\frac{3h}{\rho c r}\,t\Big)\,}.
Aqui cada símbolo significa:
  • T(t): temperatura uniforme da esfera no tempo t;
  • T_{\infty}: temperatura do fluido (aqui 25\\ ^\circ\mathrm{C});
  • T_{i}: temperatura inicial da esfera (aqui 750\\ ^\circ\mathrm{C});
  • h: coeficiente convectivo;
  • \rho: densidade;
  • c: calor específico;
  • r: raio da esfera.

Passo 4

Cálculo dos parâmetros numéricos úteis (volume, área, massa, constante de tempo).
Volume da esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{4}{3}\pi(0,05)^{3}=\;0,0005235988\\ \mathrm{m^{3}}.
Área de superfície:
A=4\pi r^{2}=4\pi(0,05)^{2}=0,0314159\\ \mathrm{m^{2}}.
massa da esfera:
m=\rho V=7854\cdot 0,0005235988\approx 4,1124\\ \mathrm{kg}.
Constante do expoente (taxa de decaimento):
\frac{h A}{\rho V c}=\frac{3h}{\rho c r}.
Calcular o tempo característico \tau (inverso da taxa) para facilitar:
\tau=\frac{\rho c r}{3h}.
Substituindo:
\rho c =7854\cdot 434=3\,408\,636\\ \mathrm{J/(m^{3}K)},
\rho c r =3\,408\,636\cdot 0,05=170\,431,8\\ \mathrm{J/(m^{2}K)},
3h=3\cdot 200=600\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.
\tau=\frac{170\,431,8}{600}\approx 284,05\\ \mathrm{s}.
Logo a taxa é aproximadamente
\frac{h A}{\rho V c}=\frac{1}{\tau}\approx 0,003520\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Tempo necessário para a esfera atingir 50\\ ^\circ\mathrm{C}.
Usar a fórmula:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}=\exp\!\Big(-\frac{t}{\tau}\Big).
Isolando t:
t=-\tau \ln\!\left(\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}\right).
Substituir T(t)=50, T_{\infty}=25, T_{i}=750:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{i}-T_{\infty}}=\frac{50-25}{750-25}=\frac{25}{725}=0,0344827586\ldots
t=-284,05\cdot \ln(0,0344827586)\approx 284,05\cdot 3,368\approx 956,8\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos:
956,8\\ \mathrm{s}\approx 15,95\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Energia total trocada com a água até atingir 50\\ ^\circ\mathrm{C}.
A energia retirada da esfera até o tempo t é a variação de sua energia interna:
Q = m c (T_{i}-T(t)).
Com m\approx 4,1124\\ \mathrm{kg}, c=434\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}, T_{i}-T(t)=750-50=700\\ \mathrm{K}:
Q\approx 4,1124\cdot 434\cdot 700.
Calcular:
434\cdot 700=303\,800,
Q\approx 4,1124\cdot 303\,800\approx 1\,249\,300\\ \mathrm{J}\\ (\approx 1,25\\ \mathrm{MJ}).

Passo 7

Tempo para a esfera atingir exatamente a temperatura do fluido e energia correspondente.
A equação exponencial mostra que T(t)\to T_{\infty} quando t\to\infty. Portanto:
  • tempo exato para atingir T_{\infty} é infinito (na teoria do modelo exponencial). Em prática, define-se um critério (por exemplo diferença de 0,1\\ ^\circ\mathrm{C}) e calcula-se o t correspondente; mas matematicamente é infinito.
Energia total que precisa ser retirada da esfera para chegar a T_{\infty} (variação total de energia):
Q_{\text{total}}=m c (T_{i}-T_{\infty}).
Substituindo T_{i}-T_{\infty}=750-25=725\\ \mathrm{K}:
434\cdot 725=314\,650,
Q_{\text{total}}\approx 4,1124\cdot 314\,650\approx 1\,293\,900\\ \mathrm{J}\\ (\approx 1,29\\ \mathrm{MJ}).
(Senão quiser o tempo infinito, posso calcular o tempo para ficar a uma folga prática, por exemplo a 25{,}1\\ ^\circ\mathrm{C} ou a 25{,}01\\ ^\circ\mathrm{C}. Diga se quiser esse número prático.)

Resposta

(a) T(t)=T_{\infty}+(T_{i}-T_{\infty})\exp\!\Big(-\dfrac{hA}{\rho V c}\,t\Big), e, para a esfera em lumped-capacitance, T(t)=T_{\infty}+(T_{i}-T_{\infty})\exp\!\Big(-\dfrac{3h}{\rho c r}\,t\Big).
(b) t_{50^\circ\mathrm{C}}\approx 956,8\\ \mathrm{s}\approx 15,95\\ \mathrm{min}.
Q_{0\to 50^\circ\mathrm{C}}\approx 1,249\times 10^{6}\\ \mathrm{J} (≈ 1,25\\ \mathrm{MJ}).
(c) tempo para atingir exatamente T_{\infty}: \text{infinito} (assintoticamente).
energia a ser removida até T_{\infty}: Q_{\text{total}}\approx 1,294\times 10^{6}\\ \mathrm{J} (≈ 1,29\\ \mathrm{MJ}).

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