Uma barra retangular de urânio de 10 \times 10 \times 200 \mathrm{~mm} encontra-se inicialmente à temperatura ambiente 25^{\circ} \mathrm{C}. Repentinamente, energia interna ( \dot{e}_{\mathrm{g}}=10^{8} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3} ) começa a ser gerada uniformemente no interior da placa e calor começa a ser trocado com o ambiente externo. O coeficiente de transferência de calor por convecção é constante e igual à 200 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. O urânio apresenta condutividade térmica de 27,6 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, massa específica de 19070 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e calor específico de 116 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}. Para tais condições, determine:
a) A equação da distribuição de temperaturas para a placa em função das variáveis descritas no enunciado.
b) O tempo necessário para a barra atingir 1000^{\circ} \mathrm{C} e a energia total trocada com o ambiente até que essa temperatura seja atingida.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais dados foram fornecidos.
O enunciado pede:
  • (a) A equação da distribuição de temperaturas para a barra em função das variáveis do enunciado.
  • (b) O tempo necessário para a barra atingir 1000^{\circ}\mathrm{C} e a energia total trocada com o ambiente até esse instante.
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Dimensões da barra: 10\times10\times200\\ \mathrm{mm}. Ou seja, V = 0{,}01\\ \mathrm{m}\times 0{,}01\\ \mathrm{m}\times 0{,}2\\ \mathrm{m}=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.
  • Temperatura ambiente (inicial): T_{\infty}=25^{\circ}\mathrm{C}. Temperatura inicial da barra é igual a T_{\infty}.
  • Geração volumétrica de energia (uniforme): \dot{e}_{g}=10^{8}\\ \mathrm{W/m}^3.
  • Coeficiente de convecção: h=200\\ \mathrm{W/m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Condutividade térmica: k=27{,}6\\ \mathrm{W/m\cdot K}.
  • Densidade: \rho=19070\\ \mathrm{kg/m}^3.
  • Calor específico: c=116\\ \mathrm{J/kg\cdot K}.
Quantidades geométricas úteis (calculadas a partir das dimensões):
  • Volume V=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3 (já calculado acima).
  • Área externa total (todas as faces): A_s = 2(ab+bc+ac)=2(0{,}01\cdot0{,}01+0{,}01\cdot0{,}2+0{,}01\cdot0{,}2)=0{,}0082\\ \mathrm{m}^2.
  • Massa m=\rho V.
A partir daqui vou justificar o método, formular a equação de equilíbrio energético e resolver para obter a distribuição temporal da temperatura e os resultados numéricos pedidos.

Passo 2

Verificação se podemos tratar a barra como um corpo de temperatura espacialmente uniforme (modelo de capacidade concentrada, “lumped capacitance”).
Explicação didática rápida: o modelo lumped assume que a resistência interna à condução é pequena comparada à resistência de convecção na superfície, de modo que a temperatura dentro do corpo é praticamente a mesma em todo o volume. O critério padrão é o número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
onde L_c é o comprimento característico do corpo definido por
L_c=\frac{V}{A_s}.
Se \mathrm{Bi}\lesssim 0{,}1 costuma-se aceitar o modelo lumped.
Vamos calcular L_c e \mathrm{Bi}:
Cálculo de L_c:
L_c=\frac{V}{A_s}=\frac{2{,}0\times10^{-5}}{0{,}0082}=2{,}439\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Cálculo de \mathrm{Bi}:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{200\cdot 2{,}439\times10^{-3}}{27{,}6}=0{,}0177\\ (\text{adimensional}).
Interpretação: \mathrm{Bi}\approx0{,}0177\ll0{,}1. Portanto a aproximação de temperatura uniforme no interior (modelo lumped) é válida. Isso simplifica muito a análise e é a abordagem correta para a prova aqui.

Passo 3

Montagem do balanço energético global (equação diferencial temporal) usando o modelo lumped.
Explicação didática: para um corpo com temperatura uniforme T(t), a variação de energia interna por unidade de tempo é igual à energia gerada internamente menos a energia perdida por convecção na superfície. Matematicamente:
\frac{d}{dt}\bigl(m c\, T(t)\bigr)=\dot{e}_g V - h A_s\bigl(T(t)-T_{\infty}\bigr).
Aqui:
  • m=\rho V é a massa do corpo;
  • c é o calor específico;
  • \dot{e}_g é a geração volumétrica em \mathrm{W/m}^3;
  • hA_s(T-T_{\infty}) é a potência perdida por convecção.
Dividindo por m c para obter uma equação para T(t):
\frac{dT}{dt}=\frac{\dot{e}_g V}{m c}-\frac{h A_s}{m c}\bigl(T-T_{\infty}\bigr).
Agora defino parâmetros padrões para escrever a solução de forma compacta:
  • taxa de aquecimento por geração por unidade de massa: S=\frac{\dot{e}_g V}{m c}=\frac{\dot{e}_g}{\rho c};observe que S não depende de V se escrito como \dot{e}_g/(\rho c).
  • constante de decaimento (inversa do tempo característico): \frac{1}{\tau}=\frac{h A_s}{m c}=\frac{h A_s}{\rho V c}.
Assim a equação diferencial fica
\frac{dT}{dt}=S-\frac{1}{\tau}\bigl(T-T_{\infty}\bigr).
Explicação do que significa cada termo:
  • S representa a tendência de aquecimento devido à geração volumétrica por unidade de massa.
  • \tau é a constante de tempo térmica do sistema: tempos da ordem de \tau indicam quanto tempo leva para o corpo responder termicamente às fontes e perdas.

Passo 4

Solução da equação diferencial inicial (solução passo a passo, ensinando como resolver).
Equação linear de primeira ordem não homogênea:
\frac{dT}{dt}+\frac{1}{\tau}T = S + \frac{1}{\tau}T_{\infty}.
Soluções padrão: solução geral = solução estacionária + solução do homogêneo. A solução estacionária T_{\mathrm{ss}} obtém-se impondo dT/dt=0:
0 = S - \frac{1}{\tau}\bigl(T_{\mathrm{ss}}-T_{\infty}\bigr) \quad\Rightarrow\quad T_{\mathrm{ss}}=T_{\infty}+S\tau.
Nota: usando as definições de S e \tau obtém-se
S\tau=\frac{\dot{e}_g}{\rho c}\cdot\frac{\rho V c}{h A_s}=\frac{\dot{e}_g V}{h A_s},
logo
T_{\mathrm{ss}}=T_{\infty}+\frac{\dot{e}_g V}{h A_s}.
A solução transiente com condição inicial T(0)=T_{\infty} (barra começa na temperatura ambiente) é:
T(t)=T_{\mathrm{ss}}-\bigl(T_{\mathrm{ss}}-T_{\infty}\bigr)e^{-t/\tau}.
Explicação: a temperatura parte de T_{\infty} em t=0 e aproxima-se exponencialmente de T_{\mathrm{ss}} com constante de tempo \tau.
Portanto a equação da distribuição temporal de temperatura (resposta do item (a)) é:
\boxed{\,T(t)=T_{\infty}+\frac{\dot{e}_g V}{h A_s}\Bigl(1-e^{-t/\tau}\Bigr)\,}
com
\tau=\frac{\rho V c}{h A_s}.

Passo 5

Cálculo numérico dos parâmetros (fiquei aqui bem explícito para você poder fazer na prova sem calculadora complicada):
Primeiro calcule massa m e produto m c:
m=\rho V=19070\cdot 2{,}0\times10^{-5}=0{,}3814\\ \mathrm{kg}.
m c=0{,}3814\cdot116=44{,}2624\\ \mathrm{J/K}.
Geração total (potência gerada):
\dot{Q}_{\text{ger}}=\dot{e}_g V=10^{8}\cdot 2{,}0\times10^{-5}=2000\\ \mathrm{W}.
Resistência convectiva equivalente h A_s:
h A_s=200\cdot 0{,}0082=1{,}64\\ \mathrm{W/K}.
Constante de tempo \tau:
\tau=\frac{m c}{h A_s}=\frac{44{,}2624}{1{,}64}=26{,}9988\\ \mathrm{s}\approx27{,}0\\ \mathrm{s}.
Temperatura de regime estacionário:
\Delta T_{\mathrm{ss}}=T_{\mathrm{ss}}-T_{\infty}=\frac{\dot{e}_g V}{h A_s}=\frac{2000}{1{,}64}=1219{,}5122\\ \mathrm{K}.
T_{\mathrm{ss}}=T_{\infty}+\Delta T_{\mathrm{ss}}=25+1219{,}5122=1244{,}5122^{\circ}\mathrm{C}.
Observação didática: esse T_{\mathrm{ss}} é o valor limite quando t\to\infty. Nossa meta 1000^{\circ}\mathrm{C} é menor que T_{\mathrm{ss}}, logo será atingida em tempo finito.

Passo 6

Determinar o tempo necessário para T(t)=1000^{\circ}\mathrm{C}.
Usamos a expressão encontrada:
T(t)=T_{\infty}+\Delta T_{\mathrm{ss}}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).
Queremos T(t)=1000^{\circ}\mathrm{C}. Então a variação acima do ambiente requerida é
\Delta T_{\text{req}}=1000-25=975\\ \mathrm{K}.
Igualando:
975=\Delta T_{\mathrm{ss}}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr) \quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau}=1-\frac{975}{\Delta T_{\mathrm{ss}}}.
Substituindo \Delta T_{\mathrm{ss}}=1219{,}5122:
e^{-t/\tau}=1-\frac{975}{1219{,}5122}=0{,}200565\ldots
Logo
t=-\tau\ln\bigl(0{,}200565\bigr)=\tau\ln\!\bigl(4{,}9868\bigr).
Com \tau\approx26{,}9988\\ \mathrm{s} obtemos
t\approx 26{,}9988\cdot 1{,}6070\approx 43{,}43\\ \mathrm{s}.
Arredondando com razoável precisão para a prova:
\boxed{t\approx 43{,}4\\ \mathrm{s}.}

Passo 7

Calcular a energia total trocada com o ambiente até o instante em que T=1000^{\circ}\mathrm{C}.
Explicação didática: há três quantidades de energia que se relacionam pelo balanço:
  • Energia gerada internamente até t: E_{\text{ger}}=\dot{Q}_{\text{ger}}\cdot t=\dot{e}_g V t.
  • Energia armazenada na barra (aumentou a energia interna): \Delta E_{\text{int}}=m c\bigl(T(t)-T_{\text{inicial}}\bigr). Aqui T_{\text{inicial}}=T_{\infty}=25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Energia que saiu para o ambiente por convecção até t: Q_{\text{conv}}.
Balanço energético:
E_{\text{ger}}-Q_{\text{conv}}=\Delta E_{\text{int}} \quad\Rightarrow\quad Q_{\text{conv}}=E_{\text{ger}}-\Delta E_{\text{int}}.
Calculamos numéricamente:
  • E_{\text{ger}}=\dot{Q}_{\text{ger}}\cdot t=2000\cdot 43{,}429\approx 86{,}858\\ \mathrm{J}.
  • \Delta E_{\text{int}}=m c\cdot 975=44{,}2624\cdot 975=43{,}155{,}84\\ \mathrm{J}.
Logo
Q_{\text{conv}}=86{,}858-43{,}155{,}84\approx 43{,}702{,}16\\ \mathrm{J}.
Verificação alternativa (integração direta, só para confirmar): pela fórmula integral
Q_{\text{conv}}=h A_s\int_0^{t}\bigl(T(t')-T_{\infty}\bigr)\,dt' = h A_s \Delta T_{\mathrm{ss}}\Bigl(t-\tau\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)\Bigr),
e substituindo os valores retorna aproximadamente o mesmo valor, confirmando o resultado.
Arredondando para a apresentação:
\boxed{Q_{\text{conv}}\approx 4{,}37\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.}

Resposta

(a) T(t)=T_{\infty}+\dfrac{\dot{e}_g V}{h A_s}\Bigl(1-e^{-t/\tau}\Bigr), com \tau=\dfrac{\rho V c}{h A_s} e A_s=0{,}0082\\ \mathrm{m}^2,\\ V=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3.\newline
(b) Tempo para atingir 1000^{\circ}\mathrm{C}: t\approx 43{,}4\\ \mathrm{s}.\newline
Energia total trocada com o ambiente até então: Q_{\text{conv}}\approx 4{,}37\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

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