Uma barra retangular de urânio de
encontra-se inicialmente à temperatura ambiente
. Repentinamente, energia interna (
) começa a ser gerada uniformemente no interior da placa e calor começa a ser trocado com o ambiente externo. O coeficiente de transferência de calor por convecção é constante e igual à
. O urânio apresenta condutividade térmica de
, massa específica de
e calor específico de
. Para tais condições, determine:
a) A equação da distribuição de temperaturas para a placa em função das variáveis descritas no enunciado.
b) O tempo necessário para a barra atingir
e a energia total trocada com o ambiente até que essa temperatura seja atingida.
a) A equação da distribuição de temperaturas para a placa em função das variáveis descritas no enunciado.
b) O tempo necessário para a barra atingir
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o problema pede e quais dados foram fornecidos.
O enunciado pede:
- (a) A equação da distribuição de temperaturas para a barra em função das variáveis do enunciado.
- (b) O tempo necessário para a barra atingir
e a energia total trocada com o ambiente até esse instante.
Dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
- Dimensões da barra:
. Ou seja, - Temperatura ambiente (inicial):
. Temperatura inicial da barra é igual a . - Geração volumétrica de energia (uniforme):
- Coeficiente de convecção:
- Condutividade térmica:
- Densidade:
- Calor específico:
Quantidades geométricas úteis (calculadas a partir das dimensões):
- Volume
(já calculado acima). - Área externa total (todas as faces):
- Massa
.
A partir daqui vou justificar o método, formular a equação de equilíbrio energético e resolver para obter a distribuição temporal da temperatura e os resultados numéricos pedidos.
Passo 2
Verificação se podemos tratar a barra como um corpo de temperatura espacialmente uniforme (modelo de capacidade concentrada, “lumped capacitance”).
Explicação didática rápida: o modelo lumped assume que a resistência interna à condução é pequena comparada à resistência de convecção na superfície, de modo que a temperatura dentro do corpo é praticamente a mesma em todo o volume. O critério padrão é o número de Biot:
onde
é o comprimento característico do corpo definido por
Se
costuma-se aceitar o modelo lumped.
Vamos calcular
e
:
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Interpretação:
. Portanto a aproximação de temperatura uniforme no interior (modelo lumped) é válida. Isso simplifica muito a análise e é a abordagem correta para a prova aqui.
Passo 3
Montagem do balanço energético global (equação diferencial temporal) usando o modelo lumped.
Explicação didática: para um corpo com temperatura uniforme
, a variação de energia interna por unidade de tempo é igual à energia gerada internamente menos a energia perdida por convecção na superfície. Matematicamente:
Aqui:
-
é a massa do corpo; -
é o calor específico; -
é a geração volumétrica em ; -
é a potência perdida por convecção.
Dividindo por
para obter uma equação para
:
Agora defino parâmetros padrões para escrever a solução de forma compacta:
- taxa de aquecimento por geração por unidade de massa:
observe que não depende de se escrito como . - constante de decaimento (inversa do tempo característico):
Assim a equação diferencial fica
Explicação do que significa cada termo:
-
representa a tendência de aquecimento devido à geração volumétrica por unidade de massa. -
é a constante de tempo térmica do sistema: tempos da ordem de indicam quanto tempo leva para o corpo responder termicamente às fontes e perdas.
Passo 4
Solução da equação diferencial inicial (solução passo a passo, ensinando como resolver).
Equação linear de primeira ordem não homogênea:
Soluções padrão: solução geral = solução estacionária + solução do homogêneo. A solução estacionária
obtém-se impondo
:
Nota: usando as definições de
e
obtém-se
logo
A solução transiente com condição inicial
(barra começa na temperatura ambiente) é:
Explicação: a temperatura parte de
em
e aproxima-se exponencialmente de
com constante de tempo
.
Portanto a equação da distribuição temporal de temperatura (resposta do item (a)) é:
com
Passo 5
Cálculo numérico dos parâmetros (fiquei aqui bem explícito para você poder fazer na prova sem calculadora complicada):
Primeiro calcule massa
e produto
:
Geração total (potência gerada):
Resistência convectiva equivalente
:
Constante de tempo
:
Temperatura de regime estacionário:
Observação didática: esse
é o valor limite quando
. Nossa meta
é menor que
, logo será atingida em tempo finito.
Passo 6
Determinar o tempo necessário para
.
Usamos a expressão encontrada:
Queremos
. Então a variação acima do ambiente requerida é
Igualando:
Substituindo
:
Logo
Com
obtemos
Arredondando com razoável precisão para a prova:
Passo 7
Calcular a energia total trocada com o ambiente até o instante em que
.
Explicação didática: há três quantidades de energia que se relacionam pelo balanço:
- Energia gerada internamente até
: - Energia armazenada na barra (aumentou a energia interna):
Aqui . - Energia que saiu para o ambiente por convecção até
: .
Balanço energético:
Calculamos numéricamente:
Logo
Verificação alternativa (integração direta, só para confirmar): pela fórmula integral
e substituindo os valores retorna aproximadamente o mesmo valor, confirmando o resultado.
Arredondando para a apresentação:
Resposta
(a)
, com
e
.\newline
(b) Tempo para atingir :
.\newline
Energia total trocada com o ambiente até então: .
(b) Tempo para atingir
Energia total trocada com o ambiente até então: