1. Sobre o campo de velocidades abaixo:
\overrightarrow{\boldsymbol{V}}=(2 z-t-0,8 y) \boldsymbol{i}+(-1+t+2 x y) \boldsymbol{j}+(2 z) \boldsymbol{k}
(a) Ele é em regime permanente ou transiente? Por quê?
(b) Qual a vazão volumétrica instantânea ( \mathrm{emt}=3 \mathrm{~s} ) passando pela área delimitada pelo plano:
x+y+z=0
Centrado na origem, de forma quadrada e com área de 2 \mathrm{~m}^{2}.
(Dica: use a expressão na forma integral de vazão apresentada em sala de aula)
(c) Qual a velocidade na origem (\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(0,0,0) no instante \mathrm{t}=0 ?
(d) Qual a aceleração no ponto (1,1,1) no instante t=2 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Campo de velocidades fornecido (peguei do enunciado):
\overrightarrow{V}(x,y,z,t) = (2z - t - 0,8\,y)\,\boldsymbol{i} + (-1 + t + 2xy)\,\boldsymbol{j} + (2z)\,\boldsymbol{k}.
Observação: o termo `` -t-0’’ é igual a -t; vou usar a forma simplificada 2z - t para a componente i.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar se o campo é em regime permanente (estacionário) ou transiente (não estacionário) e justificar;
    (b) calcular a vazão volumétrica instantânea no instante \mathrm{emt}=3\\ \mathrm{s} passando pela área plana dada por x+y+z=0, centrada na origem, quadrada, com área 2\\ \mathrm{m}^2 (usar a expressão integral de vazão);
    (c) determinar a velocidade no ponto (0,0,0) no instante t=0;
    (d) determinar a aceleração no ponto (1,1,1) no instante t=2.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Plano de integração: x+y+z=0.
  • Área da superfície: A=2\\ \mathrm{m}^2.
  • Superfície centrada na origem e de forma quadrada (portanto simétrica em relação à origem).
  • Instante pedido para a vazão: t=3\\ \mathrm{s}.

Passo 2

(a) Regime permanente ou transiente — conceito e aplicação.
  • Conceito rápido e útil: um campo de velocidades é permanente (ou estacionário) se não depende do tempo explicitamente, ou seja, se
\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial t} = \boldsymbol{0}.
Se há dependência explícita em t em qualquer componente, o campo é transiente (não estacionário).
  • Aplicando ao campo dado: as componentes são
V_x = 2z - t,\qquad V_y = -1 + t + 2xy,\qquad V_z = 2z.
As componentes V_x e V_y dependem explicitamente de t (aparecem os termos -t e +t). Logo
\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial t} \neq \boldsymbol{0}.
Portanto o campo é transiente.

Passo 3

(b) Expressão da vazão (fluxo volumétrico) e escolha do normal.
  • Fórmula usada (a dica do enunciado): vazão instantânea através de uma superfície S
Q(t)=\iint_{S}\overrightarrow{V}\cdot\hat{n}\,dS,
onde \hat{n} é o versor normal à superfície (orientação escolhida) e dS é o elemento de área sobre a superfície.
  • Plano dado: x+y+z=0. Um vetor normal não unitário é (1,1,1). O versor normal unitário (escolhendo a direção do vetor (1,1,1)) é
\hat{n}=\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.
(A orientação poderia ser oposta, dando sinal trocado; vou usar este versor.)

Passo 4

(b) Cálculo do produto escalar \overrightarrow{V}\cdot\hat{n} e simplificação.
  • Primeiro escrevo o produto escalar geral:
\overrightarrow{V}\cdot\hat{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}\big(V_x+V_y+V_z\big).
  • Substituindo as componentes do campo:
V_x+V_y+V_z=(2z - t)+(-1 + t + 2xy)+(2z).
Agrupando termos:
V_x+V_y+V_z = 2z+2z + (-t + t) + (-1) + 2xy = 4z -1 + 2xy.
  • Portanto
\overrightarrow{V}\cdot\hat{n}=\frac{4z - 1 + 2xy}{\sqrt{3}}.
Observação importante: os termos com t cancelaram, portanto o integrando não depende do tempo apesar do campo ser transiente — isso pode acontecer em alguns fluxos.

Passo 5

(b) Converter a integral sobre o plano para variáveis no próprio plano e usar a simetria da área quadrada centrada na origem.
  • A vazão é
Q=\iint_{S}\frac{4z - 1 + 2xy}{\sqrt{3}}\,dS = \frac{1}{\sqrt{3}}\iint_{S}\big(4z - 1 + 2xy\big)\,dS.
  • Valor de z no plano: sobre S vale a relação da superfície
z = -x - y.
Substituo z no integrando para ver dependência em x,y (essas são as coordenadas dentro do plano):
4z - 1 + 2xy = 4(-x - y) -1 + 2xy = -4x -4y -1 + 2xy.
  • Agora, a superfície S é um quadrado centrado na origem. Isso implica que para qualquer ponto (x,y) no domínio do quadrado, os pontos (-x,y), (x,-y) e (-x,-y) também pertencem ao quadrado. Usando essa simetria:
    • \iint_{S} x\,dS = 0 e \iint_{S} y\,dS = 0 porque x e y são funções ímpares em relação a reflexões centrais.
    • \iint_{S} xy\,dS = 0 porque para cada (x,y) existe (-x,y) que muda o sinal do produto xy, cancelando na integral.
  • Assim, apenas a parte constante do integrando contribui:
\iint_{S}(-4x -4y -1 + 2xy)\,dS = \iint_{S}(-1)\,dS = -1\cdot A,
onde A é a área do quadrado.

Passo 6

(b) Resultado numérico da vazão.
  • Substituindo na expressão:
Q = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (-1)\cdot A = -\frac{A}{\sqrt{3}}.
  • Como A=2\\ \mathrm{m}^2,
Q = -\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Aproximação numérica:
Q \approx -1,155\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Interpretação breve: o sinal negativo indica que o fluxo é no sentido oposto ao versor \hat{n}=(1,1,1)/\sqrt{3} escolhido.

Passo 7

(c) Velocidade na origem (0,0,0) no instante t=0.
  • Substituir x=0,y=0,z=0,t=0 nas componentes
V_x(0,0,0,0)=2\cdot 0 - 0 = 0,
V_y(0,0,0,0)=-1 + 0 + 2\cdot 0\cdot 0 = -1,
V_z(0,0,0,0)=2\cdot 0 = 0.
  • Logo
\overrightarrow{V}(0,0,0,0) = (0,\,-1,\,0)\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 8

(d) Aceleração no ponto (1,1,1) no instante t=2 — conceito e cálculo detalhado.
  • Em mecânica de fluidos, a aceleração de uma partícula do fluido (aceleração material) é dada pela derivada material:
\overrightarrow{a} = \frac{D\overrightarrow{V}}{Dt} = \frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial t} + (\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}.
Explico cada termo:
  • \dfrac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial t} é a derivada parcial em relação ao tempo (variação local em um ponto fixo no espaço).
  • (\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V} é o termo convectivo que representa mudanças de velocidade ao longo do movimento do fluido; sua forma componente a componente é u\partial_x\overrightarrow{V}+v\partial_y\overrightarrow{V}+w\partial_z\overrightarrow{V} se \overrightarrow{V}=(u,v,w).
  • Calculo \partial\overrightarrow{V}/\partial t:
\frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial t} = \Big(\frac{\partial}{\partial t}(2z - t),\\ \frac{\partial}{\partial t}(-1 + t + 2xy),\\ \frac{\partial}{\partial t}(2z)\Big) = (-1,\\\ 1,\\\ 0).

Passo 9

(d) Calculo do termo convectivo (\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V} no ponto e instante dados.
  • Primeiro avalio \overrightarrow{V} em (x,y,z,t)=(1,1,1,2):
V_x = 2z - t = 2\cdot 1 - 2 = 0,
V_y = -1 + t + 2xy = -1 + 2 + 2\cdot1\cdot1 = 3,
V_z = 2z = 2\cdot 1 = 2.
Portanto \overrightarrow{V}(1,1,1,2) = (0,\,3,\,2).
  • Em seguida calculo as derivadas parciais espaciais das componentes de \overrightarrow{V}:
V_x = 2z - t \quad\Rightarrow\quad \partial_x V_x=0,\\ \partial_y V_x=0,\\ \partial_z V_x=2.
V_y = -1 + t + 2xy \quad\Rightarrow\quad \partial_x V_y = 2y,\\ \partial_y V_y = 2x,\\ \partial_z V_y=0.
V_z = 2z \quad\Rightarrow\quad \partial_x V_z=0,\\ \partial_y V_z=0,\\ \partial_z V_z=2.
  • Agora o termo convectivo componente a componente:
    Se \overrightarrow{V}=(u,v,w)=(0,3,2) no ponto considerado, então
(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)V_x = u\partial_x V_x + v\partial_y V_x + w\partial_z V_x = 0\cdot 0 + 3\cdot 0 + 2\cdot 2 = 4,
(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)V_y = 0\cdot(2y) + 3\cdot(2x) + 2\cdot 0 = 3\cdot 2\cdot 1 = 6,
(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)V_z = 0\cdot 0 + 3\cdot 0 + 2\cdot 2 = 4.
Logo
(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V} = (4,\\\ 6,\\\ 4).

Passo 10

(d) Soma dos termos para obter a aceleração total.
  • Juntando os termos:
\overrightarrow{a} = \frac{\partial \overrightarrow{V}}{\partial t} + (\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V} = (-1,\,1,\,0) + (4,\,6,\,4) = (3,\,7,\,4).
Unidade: \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

Resposta

(a) Transiente, pois \dfrac{\partial\overrightarrow{V}}{\partial t}\neq\boldsymbol{0} (aparecem termos -t e +t).
(b) \displaystyle Q=-\frac{2}{\sqrt{3}}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}\approx -1,155\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
(c) \displaystyle \overrightarrow{V}(0,0,0,0)=(0,\,-1,\,0)\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
(d) \displaystyle \overrightarrow{a}(1,1,1,2)=(3,\,7,\,4)\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

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