- Sobre o campo de velocidades abaixo:
(a) Ele é em regime permanente ou transiente? Por quê?
(b) Qual a vazão volumétrica instantânea (
) passando pela área delimitada pelo plano:
Centrado na origem, de forma quadrada e com área de
.
(Dica: use a expressão na forma integral de vazão apresentada em sala de aula)
(c) Qual a velocidade na origem
no instante
?
(d) Qual a aceleração no ponto
no instante
?
(b) Qual a vazão volumétrica instantânea (
(Dica: use a expressão na forma integral de vazão apresentada em sala de aula)
(c) Qual a velocidade na origem
(d) Qual a aceleração no ponto
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Campo de velocidades fornecido (peguei do enunciado):
Observação: o termo ``
’’ é igual a
; vou usar a forma simplificada
para a componente
.
- O enunciado pede:
(a) determinar se o campo é em regime permanente (estacionário) ou transiente (não estacionário) e justificar;
(b) calcular a vazão volumétrica instantânea no instantepassando pela área plana dada por , centrada na origem, quadrada, com área (usar a expressão integral de vazão);
(c) determinar a velocidade no pontono instante ;
(d) determinar a aceleração no pontono instante .
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- Plano de integração:
. - Área da superfície:
. - Superfície centrada na origem e de forma quadrada (portanto simétrica em relação à origem).
- Instante pedido para a vazão:
.
Passo 2
(a) Regime permanente ou transiente — conceito e aplicação.
- Conceito rápido e útil: um campo de velocidades é permanente (ou estacionário) se não depende do tempo explicitamente, ou seja, se
Se há dependência explícita em
em qualquer componente, o campo é transiente (não estacionário).
- Aplicando ao campo dado: as componentes são
As componentes
e
dependem explicitamente de
(aparecem os termos
e
). Logo
Portanto o campo é transiente.
Passo 3
(b) Expressão da vazão (fluxo volumétrico) e escolha do normal.
- Fórmula usada (a dica do enunciado): vazão instantânea através de uma superfície
onde
é o versor normal à superfície (orientação escolhida) e
é o elemento de área sobre a superfície.
- Plano dado:
. Um vetor normal não unitário é . O versor normal unitário (escolhendo a direção do vetor ) é
(A orientação poderia ser oposta, dando sinal trocado; vou usar este versor.)
Passo 4
(b) Cálculo do produto escalar
e simplificação.
- Primeiro escrevo o produto escalar geral:
- Substituindo as componentes do campo:
Agrupando termos:
- Portanto
Observação importante: os termos com
cancelaram, portanto o integrando não depende do tempo apesar do campo ser transiente — isso pode acontecer em alguns fluxos.
Passo 5
(b) Converter a integral sobre o plano para variáveis no próprio plano e usar a simetria da área quadrada centrada na origem.
- A vazão é
- Valor de
no plano: sobre vale a relação da superfície
Substituo
no integrando para ver dependência em
(essas são as coordenadas dentro do plano):
-
Agora, a superfície
é um quadrado centrado na origem. Isso implica que para qualquer ponto no domínio do quadrado, os pontos , e também pertencem ao quadrado. Usando essa simetria: -
e porque e são funções ímpares em relação a reflexões centrais. -
porque para cada existe que muda o sinal do produto , cancelando na integral.
-
-
Assim, apenas a parte constante do integrando contribui:
onde
é a área do quadrado.
Passo 6
(b) Resultado numérico da vazão.
- Substituindo na expressão:
- Como
,
- Aproximação numérica:
Interpretação breve: o sinal negativo indica que o fluxo é no sentido oposto ao versor
escolhido.
Passo 7
(c) Velocidade na origem
no instante
.
- Substituir
nas componentes
- Logo
Passo 8
(d) Aceleração no ponto
no instante
— conceito e cálculo detalhado.
- Em mecânica de fluidos, a aceleração de uma partícula do fluido (aceleração material) é dada pela derivada material:
Explico cada termo:
-
é a derivada parcial em relação ao tempo (variação local em um ponto fixo no espaço). -
é o termo convectivo que representa mudanças de velocidade ao longo do movimento do fluido; sua forma componente a componente é se . -
Calculo
:
Passo 9
(d) Calculo do termo convectivo
no ponto e instante dados.
- Primeiro avalio
em :
Portanto
.
- Em seguida calculo as derivadas parciais espaciais das componentes de
:
- Agora o termo convectivo componente a componente:
Seno ponto considerado, então
Logo
Passo 10
(d) Soma dos termos para obter a aceleração total.
- Juntando os termos:
Unidade:
.
Resposta
(a) Transiente, pois
(aparecem termos
e
).
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)