(Integração por Substituição) Calcule \int 3 x \sqrt{x^{2}+9} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int 3x\sqrt{x^{2}+9}\,dx.\n
Informações dadas: a função integranda é 3x\sqrt{x^{2}+9} e queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) — resultado será uma expressão em x mais uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos simplificar a aparência da integral tirando fatores constantes para fora do símbolo de integral. Aqui o 3 é constante, então
\int 3x\sqrt{x^{2}+9}\,dx = 3\int x\sqrt{x^{2}+9}\,dx.

Passo 3

Escolha da substituição: dentro da raiz temos x^{2}+9, que é uma boa candidata para a substituição porque sua derivada em x é proporcional a x, e já temos um fator x multiplicando a raiz. Então fazemos a substituição
u = x^{2}+9.
Agora calculamos o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = 2x\,dx.
Isolando x\,dx (porque aparece na integral) temos
x\,dx = \frac{du}{2}.
Explicação didática: a ideia é transformar a integral em uma em função de u, e para isso precisamos reescrever x\,dx em termos de du.

Passo 4

Substituímos u e x\,dx na integral já com o 3 fora:
3\int x\sqrt{x^{2}+9}\,dx = 3\int \sqrt{u}\,\frac{du}{2}.
Colocando constantes fora:
3\int \sqrt{u}\,\frac{du}{2} = \frac{3}{2}\int u^{1/2}\,du.
Observação: transformamos \sqrt{u} em u^{1/2} para usar a regra de potência na integração.

Passo 5

Integramos usando a regra de potência: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{3}{2} que estava fora:
\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2} = u^{3/2}.
Portanto a integral em termos de u é u^{3/2}+C.

Passo 6

Voltando à variável original x usando u = x^{2}+9, obtemos a primitiva
(x^{2}+9)^{3/2}+C.
Explicação final: adicionamos a constante de integração C porque a integral é indefinida.

Passo 7

Verificação rápida por diferenciação (checar sempre que puder): derivando (x^{2}+9)^{3/2} usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl((x^{2}+9)^{3/2}\bigr) = \frac{3}{2}(x^{2}+9)^{1/2}\cdot 2x = 3x(x^{2}+9)^{1/2},
que é exatamente o integrando original. Então a primitiva está correta.

Resposta

(x^{2}+9)^{3/2}+C

Exercícios relacionados