(Integração por Substituição) Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
.\n
Informações dadas: a função integranda é e queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) — resultado será uma expressão em
mais uma constante de integração
.
Informações dadas: a função integranda é
Passo 2
Vamos simplificar a aparência da integral tirando fatores constantes para fora do símbolo de integral. Aqui o
é constante, então
Passo 3
Escolha da substituição: dentro da raiz temos
, que é uma boa candidata para a substituição porque sua derivada em
é proporcional a
, e já temos um fator
multiplicando a raiz. Então fazemos a substituição
Agora calculamos o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
(porque aparece na integral) temos
Explicação didática: a ideia é transformar a integral em uma em função de
, e para isso precisamos reescrever
em termos de
.
Passo 4
Substituímos
e
na integral já com o
fora:
Colocando constantes fora:
Observação: transformamos
em
para usar a regra de potência na integração.
Passo 5
Integramos usando a regra de potência: para qualquer
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Portanto a integral em termos de
é
.
Passo 6
Voltando à variável original
usando
, obtemos a primitiva
Explicação final: adicionamos a constante de integração
porque a integral é indefinida.
Passo 7
Verificação rápida por diferenciação (checar sempre que puder): derivando
usando regra da cadeia,
que é exatamente o integrando original. Então a primitiva está correta.