(Concavidade e Esboço) Analise a concavidade e os pontos de inflexão da função
. Esboce o gráfico qualitativamente.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) analisar a concavidade da função (ou seja, onde ela é côncava para cima ou para baixo) e (2) achar os pontos de inflexão. Além disso, pede para esboçar qualitativamente o gráfico. Informações relevantes que temos já no enunciado: a expressão explícita de
para todo
. Nada mais foi dado (por exemplo, figura) — vamos usar essa expressão para obter derivadas, concavidade e pontos especiais.
Passo 2
Conceito chave (mini-aula curta): a concavidade de uma função é decidida pela segunda derivada.
- Se
em um intervalo, dizemos que é côncava para cima (curva como uma taça). - Se
em um intervalo, dizemos que é côncava para baixo (curva como um arco). - Um ponto
é ponto de inflexão se a concavidade muda de cima para baixo ou de baixo para cima em (isso normalmente aparece quando e o sinal de troca de sinal em torno de ). Atenção: não garante inflexão — é preciso verificar a troca de sinal.
Vamos calcular derivadas (a base para tudo).
Passo 3
Calculemos a primeira derivada
. Diferenciando termo a termo:
Isso dá
Fatorando um
:
Observação sobre o fator quadrático: o discriminante de
é
. Logo
para todo
. Portanto o sinal de
é o mesmo do fator
(pois o outro fator é sempre positivo).
Conclusão rápida sobre monotonicidade (útil para esboço):
se
,
,
se
. Assim
é decrescente em
e crescente em
; portanto
é um ponto crítico e é um mínimo local (na verdade global — veremos).
Passo 4
Calculemos a segunda derivada
. Derivando
:
Fatorando
:
Este é um ponto importante:
é um quadrado vezes constante, então
para todo
e
somente em
.
Mini-aula curta sobre interpretação: como
para todo
, a função é côncava para cima em toda a reta real (ou, dito de forma ligeiramente técnica, côncava para cima em
, com a única exceção de que em
a curvatura é zero). Para que haja ponto de inflexão em
, precisaríamos que
mudasse de sinal passando por
; isto não ocorre aqui, porque
é não negativa em ambos os lados e só toca o zero em
sem trocar de sinal.
Passo 5
Verificação explícita da troca de sinal de
(passo prático para não ter dúvida):
- Escolha
: . - Escolha
: .
Comoé positiva tanto à esquerda quanto à direita de , não há troca de sinal em . Portanto não é ponto de inflexão.
Comentário teórico extra (útil na prova): quando
anula-se com multiplicidade par (como aqui, multiplicidade
em
), normalmente não ocorre troca de concavidade; quando a multiplicidade é ímpar e outros requisitos são satisfeitos, pode ocorrer troca. Exemplo contraste:
tem
, que muda de sinal em
— inflexão em
. Já
tem
que não muda de sinal em
— sem inflexão.
Passo 6
Determinar pontos relevantes para o esboço (isso ajuda a desenhar qualitativamente):
- Ponto crítico e mínimo: já vimos
. Avaliando em :
Como
decresce antes de
e cresce depois de
,
é um mínimo local; como
quando
(termo dominante
com coeficiente positivo), esse mínimo é global. Então há um mínimo global em
.
- Raízes (interceptos em
): para ajudar no esboço, é útil achar onde . Reescrevendo de forma conveniente (identidade útil que facilita fatorar):
Colocando
, a equação
vira
, i.e.
Isto dá uma raiz real
(ou seja
) e outra real
(i.e.
). As outras duas raízes de
são complexas. Portanto há duas interseções reais com o eixo
:
e
.
- Avaliações úteis:
(já visto). . . Esses valores ajudam a posicionar pontos no esboço.
Passo 7
Resumo da análise (para uso direto no esboço):
- Concavidade:
para todo . Logo é côncava para cima em todo . - Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão, porque não há troca de sinal de
. Embora , a concavidade não muda em . - Mínimo global: em
com . - Zeros reais:
e . - Comportamento nas extremidades:
quando .
Passo 8
Esboço qualitativo (descrição verbal para desenhar à mão; imagine o eixo
horizontal e
vertical):
- À esquerda, para
, é grande e positivo; a curva desce (decrescente) até o mínimo global em . - Em
a curva cruza o eixo (intercepto esquerdo), continua descendo até . - Em
temos o mínimo; depois a curva sobe (crescente), cruza o eixo em . - A curvatura é sempre “para cima” (forma de taça) em toda parte; note que em
a curvatura fica momentaneamente zero (a curva alisa), mas sem inverter o sentido da curvatura. - Para
a curva continua subindo e fica cada vez mais íngreme para cima conforme aumenta.
Dica prática para desenhar: esboce uma taça com o fundo em
, marque pontos em
e
à esquerda do mínimo, e desenhe a curva subindo para
dos dois lados.
Resposta
Concavidade:
é côncava para cima em todo
(pois
para todo
).
Pontos de inflexão: não há pontos de inflexão (embora , não ocorre troca de concavidade).
Pontos de inflexão: não há pontos de inflexão (embora