(Concavidade e Esboço) Analise a concavidade e os pontos de inflexão da função f(x)=x^{4}-4 x^{3}+6 x^{2}-3. Esboce o gráfico qualitativamente.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-3 e pede duas coisas: (1) analisar a concavidade da função (ou seja, onde ela é côncava para cima ou para baixo) e (2) achar os pontos de inflexão. Além disso, pede para esboçar qualitativamente o gráfico. Informações relevantes que temos já no enunciado: a expressão explícita de f(x) para todo x\in\mathbb{R}. Nada mais foi dado (por exemplo, figura) — vamos usar essa expressão para obter derivadas, concavidade e pontos especiais.

Passo 2

Conceito chave (mini-aula curta): a concavidade de uma função é decidida pela segunda derivada.
  • Se f''(x)>0 em um intervalo, dizemos que f é côncava para cima (curva como uma taça).
  • Se f''(x)<0 em um intervalo, dizemos que f é côncava para baixo (curva como um arco).
  • Um ponto x_0 é ponto de inflexão se a concavidade muda de cima para baixo ou de baixo para cima em x_0 (isso normalmente aparece quando f''(x_0)=0 e o sinal de f'' troca de sinal em torno de x_0). Atenção: f''(x_0)=0 não garante inflexão — é preciso verificar a troca de sinal.
Vamos calcular derivadas (a base para tudo).

Passo 3

Calculemos a primeira derivada f'(x). Diferenciando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-4\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+6\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}(3).
Isso dá
f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+12x.
Fatorando um 4x:
f'(x)=4x\bigl(x^{2}-3x+3\bigr).
Observação sobre o fator quadrático: o discriminante de x^{2}-3x+3 é \Delta=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot3=9-12=-3<0. Logo x^{2}-3x+3>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o sinal de f' é o mesmo do fator x (pois o outro fator é sempre positivo).
Conclusão rápida sobre monotonicidade (útil para esboço): f'(x)<0 se x<0, f'(0)=0, f'(x)>0 se x>0. Assim f é decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,\infty); portanto x=0 é um ponto crítico e é um mínimo local (na verdade global — veremos).

Passo 4

Calculemos a segunda derivada f''(x). Derivando f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+12x:
f''(x)=12x^{2}-24x+12.
Fatorando 12:
f''(x)=12\bigl(x^{2}-2x+1\bigr)=12(x-1)^{2}.
Este é um ponto importante: f''(x)=12(x-1)^{2} é um quadrado vezes constante, então f''(x)\ge 0 para todo x e f''(x)=0 somente em x=1.
Mini-aula curta sobre interpretação: como f''(x)\ge 0 para todo x, a função é côncava para cima em toda a reta real (ou, dito de forma ligeiramente técnica, côncava para cima em (-\infty,\infty), com a única exceção de que em x=1 a curvatura é zero). Para que haja ponto de inflexão em x=1, precisaríamos que f'' mudasse de sinal passando por 1; isto não ocorre aqui, porque f'' é não negativa em ambos os lados e só toca o zero em 1 sem trocar de sinal.

Passo 5

Verificação explícita da troca de sinal de f'' (passo prático para não ter dúvida):
  • Escolha x=0: f''(0)=12(0-1)^{2}=12>0.
  • Escolha x=2: f''(2)=12(2-1)^{2}=12>0.
    Como f'' é positiva tanto à esquerda quanto à direita de 1, não há troca de sinal em x=1. Portanto x=1 não é ponto de inflexão.
Comentário teórico extra (útil na prova): quando f'' anula-se com multiplicidade par (como aqui, multiplicidade 2 em x=1), normalmente não ocorre troca de concavidade; quando a multiplicidade é ímpar e outros requisitos são satisfeitos, pode ocorrer troca. Exemplo contraste: g(x)=x^{3} tem g''(x)=6x, que muda de sinal em 0 — inflexão em 0. Já h(x)=x^{4} tem h''(x)=12x^{2} que não muda de sinal em 0 — sem inflexão.

Passo 6

Determinar pontos relevantes para o esboço (isso ajuda a desenhar qualitativamente):
  • Ponto crítico e mínimo: já vimos f'(0)=0. Avaliando f em 0:
f(0)=-3.
Como f decresce antes de 0 e cresce depois de 0, x=0 é um mínimo local; como f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty (termo dominante x^{4} com coeficiente positivo), esse mínimo é global. Então há um mínimo global em (0,-3).
  • Raízes (interceptos em x): para ajudar no esboço, é útil achar onde f(x)=0. Reescrevendo f de forma conveniente (identidade útil que facilita fatorar):
f(x)=(x-1)^{4}+4(x-1).
Colocando y=x-1, a equação f(x)=0 vira y^{4}+4y=0, i.e.
y(y^{3}+4)=0.
Isto dá uma raiz real y=0 (ou seja x=1) e outra real y=-\sqrt[3]{4} (i.e. x=1-\sqrt[3]{4}\approx -0,5874). As outras duas raízes de y^{3}+4 são complexas. Portanto há duas interseções reais com o eixo x: x=1 e x\approx -0,5874.
  • Avaliações úteis: f(1)=0 (já visto). f(2)=16-32+24-3=5. f(-1)=1+4+6-3=8. Esses valores ajudam a posicionar pontos no esboço.

Passo 7

Resumo da análise (para uso direto no esboço):
  • Concavidade: f''(x)=12(x-1)^{2}\ge0 para todo x. Logo f é côncava para cima em todo \mathbb{R}.
  • Pontos de inflexão: não existem pontos de inflexão, porque não há troca de sinal de f''. Embora f''(1)=0, a concavidade não muda em x=1.
  • Mínimo global: em x=0 com f(0)=-3.
  • Zeros reais: x\approx -0,5874 e x=1.
  • Comportamento nas extremidades: f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.

Passo 8

Esboço qualitativo (descrição verbal para desenhar à mão; imagine o eixo x horizontal e y vertical):
  • À esquerda, para x\ll0, f(x) é grande e positivo; a curva desce (decrescente) até o mínimo global em (0,-3).
  • Em x\approx -0,587 a curva cruza o eixo x (intercepto esquerdo), continua descendo até (0,-3).
  • Em x=0 temos o mínimo; depois a curva sobe (crescente), cruza o eixo x em x=1.
  • A curvatura é sempre “para cima” (forma de taça) em toda parte; note que em x=1 a curvatura fica momentaneamente zero (a curva alisa), mas sem inverter o sentido da curvatura.
  • Para x>1 a curva continua subindo e fica cada vez mais íngreme para cima conforme x aumenta.
Dica prática para desenhar: esboce uma taça com o fundo em (0,-3), marque pontos em (1,0) e (1-\sqrt[3]{4},0) à esquerda do mínimo, e desenhe a curva subindo para +\infty dos dois lados.

Resposta

Concavidade: f é côncava para cima em todo \mathbb{R} (pois f''(x)=12(x-1)^{2}\ge0 para todo x).
Pontos de inflexão: não há pontos de inflexão (embora f''(1)=0, não ocorre troca de concavidade).

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