- Aplicação Financeira: Um investimento de
10.000,00
0.5 %
a_{n}
n$ meses.
(a) Encontre uma fórmula para
.
(b) A sequência é convergente? Justifique.
(c) Qual o valor do investimento a longo prazo?
(a) Encontre uma fórmula para
(b) A sequência é convergente? Justifique.
(c) Qual o valor do investimento a longo prazo?
Passo 1
O enunciado diz que você aplica
a uma taxa de juros de
ao mês. Após
meses, o valor acumulado é
. O conteúdo é sequência geométrica e limite de sequência. Vamos usar a fórmula de juros compostos, que gera uma progressão geométrica de razão
.
Passo 2
Em juros compostos, a cada mês o patrimônio é multiplicado por
. Assim, sendo
, para todo inteiro
temos
Substituindo
e
,
Passo 3
Para verificar convergência de uma sequência geométrica, lembramos que ela converge se, e somente se,
. Aqui
, logo
, o que implica que a sequência diverge, crescendo sem limite superior finito.
Passo 4
Como a sequência diverge, o “valor a longo prazo” não é um número finito, mas sim tende a aumentar indefinidamente. Em termos de limite,
Resposta
(a)
(b) A sequência é divergente porque a razão satisfaz
.
(c) O valor do investimento a longo prazo tende a .
(b) A sequência é divergente porque a razão
(c) O valor do investimento a longo prazo tende a