1. Aplicação Financeira: Um investimento de \mathrm{R} \ 10.000,00 rende juros de0.5 % ao mês. Sejaêa_{n} o valor do investimento apósón$ meses.
    (a) Encontre uma fórmula para a_{n}.
    (b) A sequência é convergente? Justifique.
    (c) Qual o valor do investimento a longo prazo?

Passo 1

O enunciado diz que você aplica \text{R\$ }10.000,00 a uma taxa de juros de 0,5\% ao mês. Após n meses, o valor acumulado é a_n. O conteúdo é sequência geométrica e limite de sequência. Vamos usar a fórmula de juros compostos, que gera uma progressão geométrica de razão r=1+0,5\%=1{,}005.

Passo 2

Em juros compostos, a cada mês o patrimônio é multiplicado por r=1+0,005. Assim, sendo a_0=10000, para todo inteiro n\ge0 temos
a_n = a_0 \cdot r^n
Substituindo a_0=10000 e r=1{,}005,
a_n = 10000 \times (1{,}005)^n.

Passo 3

Para verificar convergência de uma sequência geométrica, lembramos que ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui \,r=1{,}005>1, logo \lvert r\rvert>1, o que implica que a sequência diverge, crescendo sem limite superior finito.

Passo 4

Como a sequência diverge, o “valor a longo prazo” não é um número finito, mas sim tende a aumentar indefinidamente. Em termos de limite,
\lim_{n\to\infty}a_n = +\infty.

Resposta

(a) \displaystyle a_n = 10000\,(1{,}005)^n.
(b) A sequência é divergente porque a razão r=1{,}005 satisfaz \lvert r\rvert>1.
(c) O valor do investimento a longo prazo tende a +\infty.

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