\begin{tabular}{|l|}
\hline Questão \mathbf{1} (2 pontos) \
\hline Obtenha uma equação vetorial da reta tangente \
ao gráfico de \boldsymbol{r}(t) no ponto P_{0} da curva. \
\multicolumn{1}{r}{ \boldsymbol{r}(t)=4 \cos t \boldsymbol{i}-3 t \boldsymbol{j} \quad P_{0}(2,-\pi)} \
\hline

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica \displaystyle \boldsymbol{r}(t)=4\cos t\,\boldsymbol{i}-3t\,\boldsymbol{j}
e o ponto P_{0}(2,-\pi).
Precisamos encontrar a reta tangente à curva em P_{0}, usando o vetor derivada em t_{0} tal que \boldsymbol{r}(t_{0})=P_{0}.

Passo 2

Determinamos t_{0} resolvendo o sistema
4\cos t_{0}=2, \qquad -3t_{0}=-\pi.
Da segunda equação obtemos t_{0}=\pi/3. Verificando na primeira, \cos(\pi/3)=1/2, satisfazendo 4\cdot\frac12=2.

Passo 3

Calculamos a derivada
\boldsymbol{r}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(4\cos t\,\boldsymbol{i}-3t\,\boldsymbol{j}\bigr) = -4\sin t\,\boldsymbol{i}\;-\;3\,\boldsymbol{j}.
Avalia-mos em t_{0}=\pi/3:
\boldsymbol{r}'\bigl(\pi/3\bigr) = -4\sin\bigl(\pi/3\bigr)\,\boldsymbol{i}-3\,\boldsymbol{j} = -4\cdot\frac{\sqrt3}{2}\,\boldsymbol{i}-3\,\boldsymbol{j} = -2\sqrt3\,\boldsymbol{i}-3\,\boldsymbol{j}.

Passo 4

A equação vetorial da reta tangente em P_{0} é
\boldsymbol{L}(s) =\boldsymbol{r}(t_{0}) + s\,\boldsymbol{r}'(t_{0}) =(2\,\boldsymbol{i}-\pi\,\boldsymbol{j}) + s\bigl(-2\sqrt3\,\boldsymbol{i}-3\,\boldsymbol{j}\bigr).

Resposta

\boxed{\boldsymbol{L}(s) =(2,-\pi) + s\,\bigl(-2\sqrt3,\,-3\bigr), \quad s\in\mathbb{R}.}

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