- Aplicação Física: Uma bola é solta de uma altura de 10 m . A cada quique, ela atinge
da altura anterior. Seja
a altura após
quiques.
(a) Encontre uma fórmula para
.
(b) Mostre que a sequência converge e encontre seu limite.
(c) Qual a distância total percorrida pela bola quando o número de quiques tende ao infinito?
- Aplicação em Computação: O método da bissecção para encontrar raízes de equações gera uma sequência de aproximações. Se
é o erro na n-ésima iteração, mostre que
, onde
é o intervalo inicial. Esta sequência converge? Para que valor?
(a) Encontre uma fórmula para
(b) Mostre que a sequência converge e encontre seu limite.
(c) Qual a distância total percorrida pela bola quando o número de quiques tende ao infinito?
Passo 1
Temos dois problemas. No problema 3, uma bola cai de
m e, a cada quique, alcança
da altura anterior. Vamos usar sequências geométricas, limites de sequência e soma de série infinita. No problema 4, o método da bissecção gera um erro que é metade do anterior a cada iteração; vamos justificar a fórmula do erro e estudar sua convergência.
Passo 2
(3a) A altura após
quiques forma uma sequência geométrica de termo inicial
e razão
. Logo
Passo 3
(3b) Como
, toda sequência geométrica
converge a zero. Em termos de limite,
Passo 4
(3c) A distância total percorrida é a soma da queda inicial de
m mais todas as subidas e descidas subsequentes. Após o primeiro quique, a bola sobe
m e desce outros
m, depois sobe e desce
m, etc. Assim
Como
segue
Passo 5
(4) No método da bissecção, a cada iteração o intervalo de busca tem metade do tamanho do anterior. Se o intervalo inicial tem comprimento
, após
iterações o erro máximo é
Como
quando
, temos
. Logo a sequência de erros converge a zero.
Resposta
(3a)
(3b) A sequência converge e
(3c) Distância total m.
(4) , que converge para
.
(3b) A sequência converge e
(3c) Distância total
(4)