1. Aplicação Física: Uma bola é solta de uma altura de 10 m . A cada quique, ela atinge 80 \% da altura anterior. Seja h_{n} a altura após n quiques.
    (a) Encontre uma fórmula para h_{n}.
    (b) Mostre que a sequência converge e encontre seu limite.
    (c) Qual a distância total percorrida pela bola quando o número de quiques tende ao infinito?
  2. Aplicação em Computação: O método da bissecção para encontrar raízes de equações gera uma sequência de aproximações. Se a_{n} é o erro na n-ésima iteração, mostre que a_{n}= \frac{b-a}{2^{n}}, onde [a, b] é o intervalo inicial. Esta sequência converge? Para que valor?

Passo 1

Temos dois problemas. No problema 3, uma bola cai de 10 m e, a cada quique, alcança 80\% da altura anterior. Vamos usar sequências geométricas, limites de sequência e soma de série infinita. No problema 4, o método da bissecção gera um erro que é metade do anterior a cada iteração; vamos justificar a fórmula do erro e estudar sua convergência.

Passo 2

(3a) A altura após n quiques forma uma sequência geométrica de termo inicial h_{0}=10 e razão q=0,8. Logo
h_{n}=h_{0}\,q^{n}=10\,(0,8)^{n}.

Passo 3

(3b) Como \lvert q\rvert=0,8<1, toda sequência geométrica h_{n}=10\,(0,8)^{n} converge a zero. Em termos de limite,
\lim_{n\to\infty}h_{n} =\lim_{n\to\infty}10\,(0,8)^{n} =10\cdot0=0.

Passo 4

(3c) A distância total percorrida é a soma da queda inicial de 10 m mais todas as subidas e descidas subsequentes. Após o primeiro quique, a bola sobe 10\cdot0,8 m e desce outros 10\cdot0,8 m, depois sobe e desce 10\,(0,8)^{2} m, etc. Assim
D = 10 \;+\;2\sum_{n=1}^{\infty}10\,(0,8)^{n}.
Como
\sum_{n=1}^{\infty}(0,8)^{n}=\frac{0,8}{1-0,8}=4,
segue
D = 10 + 2\cdot10\cdot4 = 10 + 80 = 90\text{ m}.

Passo 5

(4) No método da bissecção, a cada iteração o intervalo de busca tem metade do tamanho do anterior. Se o intervalo inicial tem comprimento b-a, após n iterações o erro máximo é
a_{n} = \frac{b-a}{2^{n}}.
Como 2^{n}\to\infty quando n\to\infty, temos a_{n}\to0. Logo a sequência de erros converge a zero.

Resposta

(3a) \displaystyle h_{n}=10\,(0,8)^{n}.
(3b) A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}h_{n}=0.
(3c) Distância total D=90 m.
(4) \displaystyle a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}, que converge para 0.

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