7. Aplicação geométrica

Mostre que o determinante de uma matriz 2 \times 2
D=\operatorname{det}\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]
representa a área do paralelogramo gerado pelos vetores (a, c) e (b, d) no plano.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que o determinante da matriz 2\times2
D=\det\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}
representa a área do paralelogramo gerado pelos vetores (a,c) e (b,d) no plano.
Informações dadas:
  • A matriz tem entradas a,b,c,d.
  • Os vetores que geram o paralelogramo são v=(a,c) e w=(b,d).
  • A tarefa é relacionar o determinante D com a área desse paralelogramo (ou seja, mostrar que a área é |D|, e que D com sinal dá a área orientada).]

Passo 2

Vamos começar lembrando a fórmula geométrica da área de um paralelogramo gerado por dois vetores. Se v e w são vetores no plano, então a área do paralelogramo que eles formam é
\text{Área} = \lVert v\rVert \,\lVert w\rVert \,\sin\theta,Á
onde \lVert v\rVert é o comprimento (norma) do vetor v, \lVert w\rVert é o comprimento de w, e \theta é o ângulo entre v e w. Vou explicar cada termo:
  • \lVert v\rVert = comprimento de v (no plano), calculado por \lVert v\rVert =\sqrt{v_1^2+v_2^2} se v=(v_1,v_2).
  • \sin\theta é o seno do ângulo entre os vetores; é a razão entre a altura do paralelogramo e o comprimento da base quando a base é tomada como um dos vetores.

Passo 3

Precisamos de uma expressão algébrica para \lVert v\rVert \,\lVert w\rVert \,\sin\theta. Usamos o produto interno (produto escalar) para obter \cos\theta. Para vetores v e w,
v\cdot w = \lVert v\rVert \,\lVert w\rVert \cos\theta.
Da identidade pitagórica \sin^2\theta = 1-\cos^2\theta obtemos
(\lVert v\rVert \,\lVert w\rVert \sin\theta)^2 = \lVert v\rVert^2 \,\lVert w\rVert^2 - (v\cdot w)^2.
Isto é útil porque agora podemos calcular a área ao quadrado usando apenas componentes dos vetores, sem trigonometria explícita.

Passo 4

Agora apliquei isso aos vetores do enunciado. Tome
v=(a,c),\qquad w=(b,d).
Calculemos cada peça:
\lVert v\rVert^2 = a^2+c^2, \qquad \lVert w\rVert^2 = b^2+d^2, \qquad v\cdot w = ab+cd.
Então a área ao quadrado é
\text{Área}^2 = (a^2+c^2)(b^2+d^2) - (ab+cd)^2.Á

Passo 5

Desenvolvemos a expressão do passo anterior com calma (mostro cada termo para você reproduzir na prova sem erro):
Primeiro expanda o produto:
(a^2+c^2)(b^2+d^2) = a^2b^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + c^2d^2.
Agora expanda o quadrado do escalar:
(ab+cd)^2 = a^2b^2 + 2abcd + c^2d^2.
Subtraindo os dois resultados:
\begin{aligned} \text{Área}^2 &= \bigl(a^2b^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + c^2d^2\bigr) - \bigl(a^2b^2 + 2abcd + c^2d^2\bigr)\\[4pt] &= a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd. \end{aligned}Á]

Passo 6

Agora reconhecemos a expressão do passo anterior como um quadrado perfeito. Agrupando:
a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd = (ad - bc)^2.
Portanto
\text{Área}^2 = (ad - bc)^2.Á
Tomando raiz quadrada (a área é não-negativa), obtemos
\text{Área} = |ad - bc|.Á

Passo 7

Conectando com o determinante: pelo cálculo,
\det\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix} = ad - bc.
Logo a área do paralelogramo gerado por v=(a,c) e w=(b,d) é
\text{Área} = \bigl|\det\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}\bigr|.Á
Observação de interpretação: o determinante ad-bc pode ser negativo se os vetores tiverem orientação inversa; o valor absoluto elimina o sinal e dá a área geométrica. Se você quiser a área orientada (com sinal), o próprio determinante fornece isso.]

Passo 8

Pra fixar com um exemplo rápido: para v=(1,0) e w=(0,1) temos \det\begin{bmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{bmatrix}=1, e o paralelogramo é o quadrado unidade com área 1. Para v=(2,1) e w=(1,0) temos \det=\;2\cdot0-1\cdot1=-1, então a área é |-1|=1 (a orientação é negativa, mas a área geométrica é 1).]

Resposta

\text{Área do paralelogramo}=\left|\det\begin{bmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{bmatrix}\right|=|ad-bc|Á]

Exercícios relacionados