(a) Calcule \operatorname{det}(M) diretamente.
(b) Justifique por que não é necessário desenvolver por Laplace para encontrar o determinante.
5. Sistemas lineares e determinantes
e pede duas coisas:
(a) Calcular \det(M) “diretamente”.
(b) Justificar por que não é necessário desenvolver por Laplace para encontrar o determinante.
Lista das informações relevantes que temos:
Os elementos de \;M\; estão explícitos na matriz acima (cada número está disponível).
Observação visível: abaixo da diagonal principal todos os elementos são \;0\; (ou seja, a matriz é triangular superior).
Passo 2
Explicação do conceito que vamos usar: determinante de matriz triangular.
Definição útil (e fácil de aplicar): se uma matriz quadrada é triangular (superior ou inferior), então o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Em símbolos, para uma matriz triangular A de ordem n,
\det(A)=\prod_{i=1}^{n} a_{ii},
onde a_{ii} é o elemento na linha i e coluna i (ou seja, o i-ésimo elemento da diagonal).
Por que isso é verdade (intuição e pequeno argumento): ao desenvolver o determinante por expansão de cofactores ao longo da primeira coluna, se a primeira coluna tem zeros em todas as entradas exceto possivelmente em a_{11}, então só resta o termo com a_{11} multiplicando o determinante do menor correspondente. Esse menor é novamente uma matriz triangular (de ordem reduzida), e repetindo o argumento recursivamente obtemos que o determinante é a_{11} vezes a_{22} vezes … vezes a_{nn}. Vou aplicar esse raciocínio ao caso concreto de ordem 3 para ficar bem claro.
Passo 3
Aplicando a propriedade à nossa matriz M. Observando \;M\; vemos que ela é triangular superior e a diagonal principal é composta pelos elementos \;1,\;1,\;2\; (peguei esses valores diretamente da matriz fornecida). Então, pelo resultado anterior,
\det(M)=1\cdot 1\cdot 2.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
1\cdot 1 = 1,
1\cdot 2 = 2.
Portanto o determinante vale \;2\;.
Passo 4
Verificação alternativa (desenvolvimento por cofactores ao longo da primeira coluna) — para você ver que o produto das diagonais coincide com uma expansão direta e entender como isso economiza trabalho na prova. A primeira coluna de M é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Expandindo por essa coluna:
onde C_{11} é o cofactor associado à posição (1,1). O cofactor C_{11} é (-1)^{1+1} vezes o determinante do menor que sobra ao eliminar a linha 1 e a coluna 1, isto é
Logo \det(M)=1\cdot 2=2. Isso confirma o resultado do Passo 3 e mostra como a presença de zeros simplifica totalmente a expansão por cofactores.]
Passo 5
Resposta à parte (b) — justificativa clara e prática.
Não é necessário desenvolver por Laplace porque \;M\; é uma matriz triangular superior (há zeros em todas as posições abaixo da diagonal principal). Para matrizes triangulares existe a regra direta: o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Desenvolver por Laplace (expansão por cofactores) é um procedimento geral, mas mais trabalhoso; quando a matriz é triangular usamos a regra do produto das diagonais para obter o determinante imediatamente, ou então expandimos ao longo de uma coluna/linha com muitos zeros (o que também reduz muito o trabalho), como demonstrei no passo anterior.
Passo 6
Dica rápida para a prova (motivação amiga): ao ver uma matriz, primeiro cheque se há muitas entradas zero ou se ela é triangular. Isso costuma economizar muito tempo — em vez de fazer várias expansões você aplica a regra do produto das diagonais ou expande numa linha/coluna com zeros. Você já tem o resultado e uma verificação pela expansão por cofactores, então está pronto. Força aí — isso fica tranquilo na prova!
Resposta
(a) \det(M)=2
(b) Porque M é triangular superior, logo \det(M) é o produto dos elementos da diagonal principal; por isso não é necessário desenvolver por Laplace.