Propriedades do determinante
Seja
M=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
(a) Calcule \operatorname{det}(M) diretamente.
(b) Justifique por que não é necessário desenvolver por Laplace para encontrar o determinante.
5. Sistemas lineares e determinantes

Passo 1

O enunciado dá a matriz
M=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right]
e pede duas coisas:
(a) Calcular \det(M) “diretamente”.
(b) Justificar por que não é necessário desenvolver por Laplace para encontrar o determinante.
Lista das informações relevantes que temos:
  • Os elementos de \;M\; estão explícitos na matriz acima (cada número está disponível).
  • Observação visível: abaixo da diagonal principal todos os elementos são \;0\; (ou seja, a matriz é triangular superior).

Passo 2

Explicação do conceito que vamos usar: determinante de matriz triangular.
Definição útil (e fácil de aplicar): se uma matriz quadrada é triangular (superior ou inferior), então o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Em símbolos, para uma matriz triangular A de ordem n,
\det(A)=\prod_{i=1}^{n} a_{ii},
onde a_{ii} é o elemento na linha i e coluna i (ou seja, o i-ésimo elemento da diagonal).
Por que isso é verdade (intuição e pequeno argumento): ao desenvolver o determinante por expansão de cofactores ao longo da primeira coluna, se a primeira coluna tem zeros em todas as entradas exceto possivelmente em a_{11}, então só resta o termo com a_{11} multiplicando o determinante do menor correspondente. Esse menor é novamente uma matriz triangular (de ordem reduzida), e repetindo o argumento recursivamente obtemos que o determinante é a_{11} vezes a_{22} vezes … vezes a_{nn}. Vou aplicar esse raciocínio ao caso concreto de ordem 3 para ficar bem claro.

Passo 3

Aplicando a propriedade à nossa matriz M. Observando \;M\; vemos que ela é triangular superior e a diagonal principal é composta pelos elementos \;1,\;1,\;2\; (peguei esses valores diretamente da matriz fornecida). Então, pelo resultado anterior,
\det(M)=1\cdot 1\cdot 2.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
1\cdot 1 = 1,
1\cdot 2 = 2.
Portanto o determinante vale \;2\;.

Passo 4

Verificação alternativa (desenvolvimento por cofactores ao longo da primeira coluna) — para você ver que o produto das diagonais coincide com uma expansão direta e entender como isso economiza trabalho na prova. A primeira coluna de M é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Expandindo por essa coluna:
\det(M)=1\cdot C_{11}+0\cdot C_{21}+0\cdot C_{31}=1\cdot C_{11},
onde C_{11} é o cofactor associado à posição (1,1). O cofactor C_{11} é (-1)^{1+1} vezes o determinante do menor que sobra ao eliminar a linha 1 e a coluna 1, isto é
C_{11}=\det\left(\begin{array}{ll}1 & 4 \\[4pt] 0 & 2\end{array}\right).
Calculando esse determinante 2\times2:
\det\left(\begin{array}{ll}1 & 4 \\[4pt] 0 & 2\end{array}\right)=1\cdot 2 - 4\cdot 0=2.
Logo \det(M)=1\cdot 2=2. Isso confirma o resultado do Passo 3 e mostra como a presença de zeros simplifica totalmente a expansão por cofactores.]

Passo 5

Resposta à parte (b) — justificativa clara e prática.
Não é necessário desenvolver por Laplace porque \;M\; é uma matriz triangular superior (há zeros em todas as posições abaixo da diagonal principal). Para matrizes triangulares existe a regra direta: o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Desenvolver por Laplace (expansão por cofactores) é um procedimento geral, mas mais trabalhoso; quando a matriz é triangular usamos a regra do produto das diagonais para obter o determinante imediatamente, ou então expandimos ao longo de uma coluna/linha com muitos zeros (o que também reduz muito o trabalho), como demonstrei no passo anterior.

Passo 6

Dica rápida para a prova (motivação amiga): ao ver uma matriz, primeiro cheque se há muitas entradas zero ou se ela é triangular. Isso costuma economizar muito tempo — em vez de fazer várias expansões você aplica a regra do produto das diagonais ou expande numa linha/coluna com zeros. Você já tem o resultado e uma verificação pela expansão por cofactores, então está pronto. Força aí — isso fica tranquilo na prova!

Resposta

(a) \det(M)=2
(b) Porque M é triangular superior, logo \det(M) é o produto dos elementos da diagonal principal; por isso não é necessário desenvolver por Laplace.

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