O que o enunciado pede: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem simultaneamente as três equações (ou seja, resolver o sistema).]
Passo 2
A Regra de Cramer diz o seguinte (vou explicar com calma): seja a matriz dos coeficientes A e seu determinante D. Se D\neq 0, as soluções x, y, z são dadas por
onde D_x é o determinante obtido substituindo a primeira coluna de A pelo vetor dos termos independentes, D_y substitui a segunda coluna, e D_z substitui a terceira coluna. Vou aplicar isso passo a passo. Primeiro escrevo a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes b:
Antes de aplicar as frações, preciso calcular os determinantes D=\det(A), D_x, D_y e D_z. Para determinantes 3\times3 vou usar a Regra de Sarrus (é prática para cálculo manual): para
\begin{pmatrix}a & b & c\\[4pt]d & e & f\\[4pt]g & h & i\end{pmatrix}
temos
\det=\;a e i + b f g + c d h \;-\; (c e g + b d i + a f h).
Vou aplicar essa fórmula em cada determinante mostrando todos os passos.]
Passo 3
Calcular D=\det(A). Na notação da Regra de Sarrus, identificamos
\begin{aligned} \text{termos positivos} &= a e i + b f g + c d h \\\ &= 2\cdot 3\cdot 4 + 1\cdot 2\cdot 3 + (-1)\cdot(-1)\cdot(-2) \\\ &= 24 + 6 + (-2) \\\ &= 28, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{termos negativos} &= c e g + b d i + a f h \\\ &= (-1)\cdot 3\cdot 3 + 1\cdot(-1)\cdot 4 + 2\cdot 2\cdot(-2) \\\ &= -9 + (-4) + (-8) \\\ &= -21. \end{aligned}
\begin{aligned} \text{positivos} &= a e i + b f g + c d h \\\ &= 3\cdot 3\cdot 4 + 1\cdot 2\cdot 7 + (-1)\cdot 1\cdot(-2) \\\ &= 36 + 14 + 2 \\\ &= 52, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{negativos} &= c e g + b d i + a f h \\\ &= (-1)\cdot 3\cdot 7 + 1\cdot 1\cdot 4 + 3\cdot 2\cdot(-2) \\\ &= -21 + 4 + (-12) \\\ &= -29. \end{aligned}
Então
D_x = 52 - (-29) = 81.]
Passo 5
Calcular D_y: substituímos a segunda coluna de A por b. A matriz fica
\begin{aligned} \text{positivos} &= a e i + b f g + c d h \\\ &= 2\cdot 1\cdot 4 + 3\cdot 2\cdot 3 + (-1)\cdot(-1)\cdot7 \\\ &= 8 + 18 + 7 \\\ &= 33, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{negativos} &= c e g + b d i + a f h \\\ &= (-1)\cdot 1\cdot 3 + 3\cdot(-1)\cdot 4 + 2\cdot 2\cdot 7 \\\ &= -3 + (-12) + 28 \\\ &= 13. \end{aligned}
Portanto
D_y = 33 - 13 = 20.]
Passo 6
Calcular D_z: substituímos a terceira coluna de A por b. A matriz fica
\begin{aligned} \text{positivos} &= a e i + b f g + c d h \\\ &= 2\cdot 3\cdot 7 + 1\cdot 1\cdot 3 + 3\cdot(-1)\cdot(-2) \\\ &= 42 + 3 + 6 \\\ &= 51, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{negativos} &= c e g + b d i + a f h \\\ &= 3\cdot 3\cdot 3 + 1\cdot(-1)\cdot 7 + 2\cdot 1\cdot(-2) \\\ &= 27 + (-7) + (-4) \\\ &= 16. \end{aligned}