Resolva o sistema linear abaixo utilizando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y-z=3 \\\\ -x+3 y+2 z=1 \\\\ 3 x-2 y+4 z=7 \end{array}\right.

Passo 1

O sistema que temos é
\left\{\begin{array}{l} 2x+y-z=3,\\[4pt] -x+3y+2z=1,\\[4pt] 3x-2y+4z=7. \end{array}\right.
O que o enunciado pede: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem simultaneamente as três equações (ou seja, resolver o sistema).]

Passo 2

A Regra de Cramer diz o seguinte (vou explicar com calma): seja a matriz dos coeficientes A e seu determinante D. Se D\neq 0, as soluções x, y, z são dadas por
x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\qquad z=\frac{D_z}{D},
onde D_x é o determinante obtido substituindo a primeira coluna de A pelo vetor dos termos independentes, D_y substitui a segunda coluna, e D_z substitui a terceira coluna. Vou aplicar isso passo a passo. Primeiro escrevo a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos independentes b:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\[4pt]-1 & 3 & 2\\[4pt]3 & -2 & 4\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]7\end{pmatrix}.
Antes de aplicar as frações, preciso calcular os determinantes D=\det(A), D_x, D_y e D_z. Para determinantes 3\times3 vou usar a Regra de Sarrus (é prática para cálculo manual): para
\begin{pmatrix}a & b & c\\[4pt]d & e & f\\[4pt]g & h & i\end{pmatrix}
temos
\det=\;a e i + b f g + c d h \;-\; (c e g + b d i + a f h).
Vou aplicar essa fórmula em cada determinante mostrando todos os passos.]

Passo 3

Calcular D=\det(A). Na notação da Regra de Sarrus, identificamos
a=2,\; b=1,\; c=-1,\; d=-1,\; e=3,\; f=2,\; g=3,\; h=-2,\; i=4.
Agora aplicando a fórmula:
\begin{aligned} \text{termos positivos} &= a e i + b f g + c d h \\\ &= 2\cdot 3\cdot 4 + 1\cdot 2\cdot 3 + (-1)\cdot(-1)\cdot(-2) \\\ &= 24 + 6 + (-2) \\\ &= 28, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{termos negativos} &= c e g + b d i + a f h \\\ &= (-1)\cdot 3\cdot 3 + 1\cdot(-1)\cdot 4 + 2\cdot 2\cdot(-2) \\\ &= -9 + (-4) + (-8) \\\ &= -21. \end{aligned}
Portanto
D = (\text{positivos}) - (\text{negativos}) = 28 - (-21) = 49.
Concluímos que D=49\neq 0, então a Regra de Cramer pode ser aplicada.

Passo 4

Calcular D_x: substituímos a primeira coluna de A pelo vetor b. A matriz fica
A_x=\begin{pmatrix}3 & 1 & -1\\[4pt]1 & 3 & 2\\[4pt]7 & -2 & 4\end{pmatrix}.
Usando Sarrus com
a=3,\; b=1,\; c=-1,\; d=1,\; e=3,\; f=2,\; g=7,\; h=-2,\; i=4,
calculo:
\begin{aligned} \text{positivos} &= a e i + b f g + c d h \\\ &= 3\cdot 3\cdot 4 + 1\cdot 2\cdot 7 + (-1)\cdot 1\cdot(-2) \\\ &= 36 + 14 + 2 \\\ &= 52, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{negativos} &= c e g + b d i + a f h \\\ &= (-1)\cdot 3\cdot 7 + 1\cdot 1\cdot 4 + 3\cdot 2\cdot(-2) \\\ &= -21 + 4 + (-12) \\\ &= -29. \end{aligned}
Então
D_x = 52 - (-29) = 81.]

Passo 5

Calcular D_y: substituímos a segunda coluna de A por b. A matriz fica
A_y=\begin{pmatrix}2 & 3 & -1\\[4pt]-1 & 1 & 2\\[4pt]3 & 7 & 4\end{pmatrix}.
Com
a=2,\; b=3,\; c=-1,\; d=-1,\; e=1,\; f=2,\; g=3,\; h=7,\; i=4,
tenho:
\begin{aligned} \text{positivos} &= a e i + b f g + c d h \\\ &= 2\cdot 1\cdot 4 + 3\cdot 2\cdot 3 + (-1)\cdot(-1)\cdot7 \\\ &= 8 + 18 + 7 \\\ &= 33, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{negativos} &= c e g + b d i + a f h \\\ &= (-1)\cdot 1\cdot 3 + 3\cdot(-1)\cdot 4 + 2\cdot 2\cdot 7 \\\ &= -3 + (-12) + 28 \\\ &= 13. \end{aligned}
Portanto
D_y = 33 - 13 = 20.]

Passo 6

Calcular D_z: substituímos a terceira coluna de A por b. A matriz fica
A_z=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3\\[4pt]-1 & 3 & 1\\[4pt]3 & -2 & 7\end{pmatrix}.
Com
a=2,\; b=1,\; c=3,\; d=-1,\; e=3,\; f=1,\; g=3,\; h=-2,\; i=7,
calculo:
\begin{aligned} \text{positivos} &= a e i + b f g + c d h \\\ &= 2\cdot 3\cdot 7 + 1\cdot 1\cdot 3 + 3\cdot(-1)\cdot(-2) \\\ &= 42 + 3 + 6 \\\ &= 51, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{negativos} &= c e g + b d i + a f h \\\ &= 3\cdot 3\cdot 3 + 1\cdot(-1)\cdot 7 + 2\cdot 1\cdot(-2) \\\ &= 27 + (-7) + (-4) \\\ &= 16. \end{aligned}
Assim
D_z = 51 - 16 = 35.]

Passo 7

Agora aplico a Regra de Cramer:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{81}{49},\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{20}{49},\qquad z=\frac{D_z}{D}=\frac{35}{49}.
Posso simplificar z:
\frac{35}{49}=\frac{5\cdot 7}{7\cdot 7}=\frac{5}{7}.
As frações \frac{81}{49} e \frac{20}{49} já estão na forma de fração irreduzível (não têm fator comum além de 1).

Resposta

x=\dfrac{81}{49}\
y=\dfrac{20}{49}\
z=\dfrac{5}{7}

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