Questão 1) - (1,0 ponto) - Explique os três princípios de Sherman vistos em sala de aula.
Passo 1
O enunciado pede que eu explique os “três princípios de Sherman” vistos em sala. Vou assumir que esses três princípios são as três identidades/métodos que aparecem juntos na literatura de álgebra linear e métodos numéricos: (1) a fórmula de Sherman–Morrison (atualização de posto‑1 da inversa), (2) o lema do determinante para atualização de posto‑1 (Matrix Determinant Lemma) e (3) a identidade de Woodbury (generalização para atualizações de posto baixo). A seguir eu explico cada um passo a passo, mostrando hipóteses, derivação e exemplos simples para você poder usar na prova.
Passo 2
Sherman–Morrison: enunciado, hipótese e fórmula.
- Hipótese: seja
invertível e sejam . Consideramos a matriz atualizada por um termo de posto 1:
- Objetivo: achar
em função de , e , sem recalcular a inversa inteira. - Fórmula (Sherman–Morrison):
válida enquanto o escalar
for diferente de zero (essa condição garante que
é invertível).
- O que cada símbolo significa:
-
: matriz inicial invertível; -
: vetores que definem a atualização de posto 1; -
: número escalar; se for igual a esse escalar a atualização torna a matriz singular.
-
- Derivação curta e verificável (passo a passo algebraico): proponha o candidato
onde
. Verifique que
:
Agrupando termos que têm fator
à esquerda e
à direita,
Como
, a expressão entre parênteses zera, ficando
. Isso mostra que
é a inversa procurada.
- Exemplo numérico simples para testar na prova sem calculadora: tome
, , . Então . Pela fórmula:
que bate com a inversa direta de
. Bom pra prova: escolha vetores com muitos zeros para facilitar as contas.
Passo 3
Lema do determinante para atualização de posto‑1 (Matrix Determinant Lemma).
- Enunciado e hipótese: para
invertível e ,
- Interpretação: o determinante da matriz atualizada por um termo de posto 1 é o determinante original vezes um fator escalar simples.
- Derivação curta: escrevemos
Agora use a identidade para matriz de posto 1: se
então
(isso pode ser provado expandindo a determinante ou usando autovalores). Aplicando com
e
obtemos o resultado.
- Exemplo rápido (usando o exemplo anterior):
para , e então , que coincide com .
Passo 4
Identidade de Woodbury (generalização para atualizações de posto baixo).
- Hipótese: seja
invertível, e invertível. Consideramos a atualização
- Fórmula (Woodbury):
válida quando a matriz
é invertível (essa é a condição de existência da inversa).
- Interpretação: Woodbury é a versão de posto‑k do Sherman–Morrison (quando
e , recuperamos Sherman–Morrison com e ). Em vez de inverter uma matriz do zero, reduzimos a inversão a uma matriz (que é muito menor quando ). - Ideia de derivação (sem pular raciocínio): procede-se igual ao caso de posto 1, propondo a forma à direita e verificando que o produto com
dá a identidade; a verificação usa álgebra de blocos e a identidade quando necessário. - Quando usar na prova: se você já tem
e precisa atualizar por uma soma de poucos vetores (colunas de e ), aplique Woodbury para economizar trabalho. Computacionalmente, a inversão passa a exigir a inversão de uma matriz em vez de uma .
Passo 5
Aplicações práticas, dicas para a prova e cuidados.
- Quando aplicar: sempre que tiver uma matriz que é uma matriz conhecida
mais uma atualização de baixo posto (posto 1 ou baixo posto), e você conhece (ou é fácil obter) . - Principais checagens antes de aplicar:
- Verificar que
é invertível. - Verificar que o escalar
(no caso Sherman–Morrison) ou a matriz (no caso Woodbury) é invertível.
- Verificar que
- Vantagens: reduz custo computacional e permite atualizar soluções de sistemas lineares sem recomputar inversa inteira. Por exemplo, para resolver
com conhecido, use a fórmula para aplicar a inversa rapidamente. - Riscos e estabilidade: numericamente, se
for muito pequeno, há instabilidade; cuidado com cancelamentos. Em provas teóricas normalmente você só precisa mencionar a condição de não singularidade. - Exemplo de uso para resolver sistema: se já tenho
e quero , calcule
que usa apenas produtos vetoriais e o escalar no denominador.
Passo 6
Resumo didático e truques de memorização (para a prova).
- Truque mental: Sherman–Morrison = “inversa com correção de posto‑1” — é igual a
menos um termo que é produto de , um escalar inverso e . - Lema do determinante = “determinante escala por
”. - Woodbury = “Sherman–Morrison para colunas múltiplas (posto
)”: substitua vetores por matrizes e o escalar por matriz . - Na prova: explique as hipóteses de existência, escreva a fórmula, faça uma verificação por multiplicação (ou um pequeno exemplo numérico) para garantir que você não errou sinais, e mencione a condição de não singularidade.
Resposta
Sherman–Morrison:
, válido se
invertível e
.
Matrix Determinant Lemma: , para
invertível.
Woodbury (identidade de Sherman–Morrison–Woodbury): , válido quando
e
são invertíveis.
Matrix Determinant Lemma:
Woodbury (identidade de Sherman–Morrison–Woodbury):