Questão 5 - Um tubo de aço ( \mathrm{k}=53 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) ) têm diâmetro externo de 80 mm e espessura de 5 \mathrm{mm}, 15 \mathrm{~m} de comprimento e transporta amônia a -20^{\circ} \mathrm{C} (considere a temperatura interna igual a temperatura da amônia). Para isolamento do tubo, existem duas opções: isolamento de borracha (\mathrm{k}=0,17 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K})) com 80 mm de espessura e isolamento de isopor ( \mathrm{k}=0,033 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{K}) ) com 50 mm de espessura. Por razões de ordem técnica, a taxa de transferência de calor não pode ultrapassar 850 W . Sabendo que a temperatura externa do isolamento é 40^{\circ} \mathrm{C}, determine:
a) Resistência térmica dos tubos de aço e dos isolantes.
b) Taxa de transferência de calor para cada opção de isolante e diga qual isolamento deve ser usado.
c) Caso algum dos isolamentos não possa ser usado, calcule qual seria a espessura mínima que ele deveria ter para que isso fosse possível.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos esses números do enunciado):
  • Condutividade térmica do aço: k_{\text{aço}}=53\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ç.
  • Diâmetro externo do tubo de aço: D_{\text{ext,aço}}=80\\ \mathrm{mm}ç.
  • Espessura do tubo de aço: t_{\text{aço}}=5\\ \mathrm{mm}ç.
  • Comprimento do tubo: L=15\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura interna (amônia): T_i=-20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa do isolamento (superfície externa): T_o=40^\circ\mathrm{C}.
  • Opção 1 (borracha): k_{\text{borracha}}=0{,}17\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, espessura t_{\text{borracha}}=80\\ \mathrm{mm}.
  • Opção 2 (isopor): k_{\text{isopor}}=0{,}033\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, espessura t_{\text{isopor}}=50\\ \mathrm{mm}.
  • Limite máximo permitido para taxa de transferência de calor: Q_{\max}=850\\ \mathrm{W}.
O que o enunciado pede:
a) Calcular as resistências térmicas do tubo de aço e dos isolantes (presumo resistências totais ao longo do comprimento L=15\\ \mathrm{m}).
b) Calcular a taxa de transferência de calor Q para cada opção e decidir qual isolamento deve ser usado (respeitando Q\le 850\\ \mathrm{W}).
c) Se algum isolamento não serve, calcular a espessura mínima desse isolamento para satisfazer Q\le 850\\ \mathrm{W}.
Vou tratar condução radial em cilindros concêntricos e não vou incluir resistência convectiva, porque o enunciado dá diretamente a temperatura externa do isolamento (superfície externa conhecida).

Passo 2

Fórmula útil (aula rápida sobre condução radial em cilindros):
  • Para condução estacionária através de um cilindro oco (paredes cilíndricas concêntricas) a resistência térmica total entre raio interno r_1 e raio externo r_2 é
R=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L},
onde:
  • R é a resistência térmica entre as superfícies ( \mathrm{K/W});
  • r_1 e r_2 são os raios interno e externo (m);
  • k é a condutividade térmica do material ( \mathrm{W/(m\cdot K)});
  • L é o comprimento do cilindro (m);
  • \ln é o logaritmo natural.
    Explicação rápida do porquê: essa fórmula vem da equação de condução radial integrando o fluxo de calor por unidade de comprimento e reescrevendo \Delta T = \dot{q} R. O \ln(r_2/r_1) aparece por causa da geometria radial (área que varia com o raio).
No nosso problema cada “camada” (parede de aço, camada de isolamento) é um cilindro oco concêntrico, então aplicamos essa fórmula para cada uma e somamos as resistências em série:
R_{\text{total}} = R_{\text{aço}} + R_{\text{isolante}}.ç
Cálculo dos raios (peguei diâmetros e espessuras do enunciado):
  • Raio externo do aço: r_{\text{aço,ext}}=\dfrac{D_{\text{ext,aço}}}{2}=\dfrac{80\\ \mathrm{mm}}{2}=40\\ \mathrm{mm}=0{,}04\\ \mathrm{m}.çç
  • Raio interno do aço: r_{\text{aço,int}}=r_{\text{aço,ext}}-t_{\text{aço}}=0{,}04-0{,}005=0{,}035\\ \mathrm{m}.ççç
Raios externos dos isolamentos:
  • Borracha: r_{\text{borracha,ext}}=r_{\text{aço,ext}}+t_{\text{borracha}}=0{,}04+0{,}08=0{,}12\\ \mathrm{m}.ç
  • Isopor: r_{\text{isopor,ext}}=0{,}04+0{,}05=0{,}09\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a resistência térmica da parede do aço (usar a fórmula):
R_{\text{aço}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{aço,ext}}}{r_{\text{aço,int}}}\right)}{2\pi k_{\text{aço}} L}.çççç
Substituindo números:
\frac{r_{\text{aço,ext}}}{r_{\text{aço,int}}}=\frac{0{,}04}{0{,}035}=1{,}142857\ldots,\quad \ln(1{,}142857\ldots)=0{,}133531392.çç
Denominador:
2\pi k_{\text{aço}} L = 2\pi\cdot 53\cdot 15 \approx 4995{,}1323.ç
Logo
R_{\text{aço}}=\frac{0{,}133531392}{4995{,}1323}\approx 2{,}673\times10^{-5}\\ \mathrm{K/W}.ç
Observação: resistência da parede de aço é muito pequena (aço é bom condutor e a espessura é pequena).

Passo 4

Resistência térmica do isolamento de borracha (camada entre r_1=r_{\text{aço,ext}}=0{,}04\\ \mathrm{m}ç e r_2=r_{\text{borracha,ext}}=0{,}12\\ \mathrm{m}):
R_{\text{borracha}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}12}{0{,}04}\right)}{2\pi\cdot 0{,}17\cdot 15}.
Calcule:
\frac{0{,}12}{0{,}04}=3,\qquad \ln 3=1{,}098612289.
Denominador:
2\pi\cdot 0{,}17\cdot 15 \approx 16{,}021127.
Portanto
R_{\text{borracha}}\approx\frac{1{,}098612289}{16{,}021127}\approx 0{,}06856\\ \mathrm{K/W}.

Passo 5

Resistência térmica do isolamento de isopor (camada entre r_1=0{,}04\\ \mathrm{m} e r_2=0{,}09\\ \mathrm{m}):
R_{\text{isopor}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}09}{0{,}04}\right)}{2\pi\cdot 0{,}033\cdot 15}.
Calcule:
\frac{0{,}09}{0{,}04}=2{,}25,\qquad \ln(2{,}25)=0{,}810930216.
Denominador:
2\pi\cdot 0{,}033\cdot 15 \approx 3{,}1101767.
Logo
R_{\text{isopor}}\approx\frac{0{,}810930216}{3{,}1101767}\approx 0{,}26074\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Agora, resistência total e taxa de transferência de calor para cada opção. A diferença de temperatura entre interior e exterior é
\Delta T = T_i - T_o = -20^\circ\mathrm{C} - 40^\circ\mathrm{C} = -60\\ \mathrm{K},
o módulo é 60\\ \mathrm{K}. Usamos
Q=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{60}{R_{\text{total}}}
em módulo.
Opção borracha:
R_{\text{total,borracha}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{borracha}}\approx 2{,}673\times10^{-5}+0{,}06856\approx 0{,}0685867\\ \mathrm{K/W}.ç
Q_{\text{borracha}}=\frac{60}{0{,}0685867}\approx 875{,}3\\ \mathrm{W}.
Opção isopor:
R_{\text{total,isopor}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{isopor}}\approx 2{,}673\times10^{-5}+0{,}26074\approx 0{,}2607667\\ \mathrm{K/W}.ç
Q_{\text{isopor}}=\frac{60}{0{,}2607667}\approx 230{,}1\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Interpretação e escolha:
  • O limite técnico é Q_{\max}=850\\ \mathrm{W}.
  • Para borracha obtivemos Q_{\text{borracha}}\approx 875{,}3\\ \mathrm{W} > 850\\ \mathrm{W}: portanto a borracha, com espessura 80\\ \mathrm{mm}, não atende à restrição.
  • Para isopor obtivemos Q_{\text{isopor}}\approx 230{,}1\\ \mathrm{W} < 850\\ \mathrm{W}: isopor atende largamente à restrição.
    Logo, usar o isolamento de isopor é a escolha que respeita a condição técnica.

Passo 8

Calcular espessura mínima do isolamento que não atende (só a borracha falhou). Procedimento:
  • Queremos Q\le 850\\ \mathrm{W}, então precisamos de R_{\text{total}}\ge \dfrac{60}{850}.
    Calcule R_{\text{req}}:
R_{\text{req}}=\frac{60}{850}\approx 0{,}0705882353\\ \mathrm{K/W}.
  • Como R_{\text{aço}}ç é fixo, a resistência mínima do isolante deve ser
R_{\text{isolante,min}}=R_{\text{req}}-R_{\text{aço}}\approx 0{,}0705882353 - 2{,}673\times10^{-5}\approx 0{,}0705615\\ \mathrm{K/W}.ç
  • Para um isolante de condutividade k em uma camada entre r_1=r_{\text{aço,ext}}=0{,}04\\ \mathrm{m}ç e r_2 desconhecido, temos
R_{\text{isolante}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L}.
Impondo igualdade para achar o mínimo:
\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right) = R_{\text{isolante,min}}\cdot 2\pi k L.
  • Para borracha ( k=0{,}17), calcule o lado direito:
2\pi k L \approx 16{,}021127,
\ln\!\left(\dfrac{r_2}{0{,}04}\right) \approx 0{,}0705615\cdot 16{,}021127 \approx 1{,}130964.
\dfrac{r_2}{0{,}04} = e^{1{,}130964}\approx 3{,}0980,
r_2 \approx 0{,}04\cdot 3{,}0980 \approx 0{,}12392\\ \mathrm{m}.
Espessura mínima:
t_{\text{borracha,min}}=r_2-r_{\text{aço,ext}}\approx 0{,}12392-0{,}04=0{,}08392\\ \mathrm{m}=83{,}92\\ \mathrm{mm}.ç
Arredondando razoavelmente, espessura mínima da borracha ≈ 83{,}9\\ \mathrm{mm}. Observação: a espessura original era 80\\ \mathrm{mm}, por isso estava ligeiramente insuficiente.

Resposta

(a) R_{\text{aço}}=2{,}673\times10^{-5}\\ \mathrm{K/W}ç;\quad R_{\text{borracha}}=0{,}06856\\ \mathrm{K/W};\quad R_{\text{isopor}}=0{,}26074\\ \mathrm{K/W}.
(b) Q_{\text{borracha}}=875{,}3\\ \mathrm{W} (ultrapassa 850\\ \mathrm{W}, NÃO atende);\quad Q_{\text{isopor}}=230{,}1\\ \mathrm{W} (atende). Recomenda-se usar o isolamento de isopor.
(c) Espessura mínima da borracha para ter Q\le 850\\ \mathrm{W}: t_{\text{borracha,min}}\approx 83{,}9\\ \mathrm{mm}.

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