(Quando uma aplicação linear complexa é uma complexificação?) Seja V um espaço vetorial real com complexificação V^{\mathbb{C}} e seja \tau \in L\left(V^{\mathbb{C}}\right). Prove que \tau é uma complexificação, isto é, \tau=\tau^{\mathbb{C}} para algum \tau \in L(V), se, e somente se, \tau comuta com a conjugação
\psi(x+i y)=x-i y .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (lista clara e curta):
  • Espaço vetorial real V.
  • Complexificação V^{\mathbb{C}}=\{x+i y \mid x,y\in V\}.
  • Conjugação \psi\colon V^{\mathbb{C}}\to V^{\mathbb{C}} dada por \psi(x+i y)=x-i y.
  • Um operador linear complexo \tau\in L\bigl(V^{\mathbb{C}}\bigr). (Isto é, \tau é \mathbb{C}-linear.)
  • Definição que vamos usar: se \sigma\in L(V) é \mathbb{R}-linear, sua complexificação \sigma^{\mathbb{C}}\in L\bigl(V^{\mathbb{C}}\bigr) é o operador definido por
\sigma^{\mathbb{C}}(x+iy)=\sigma(x)+i\,\sigma(y),
para todo x,y\in V.
O que precisa ser provado: provar a equivalência
\text{\(\tau\) é uma complexificação (isto é, existe \(\sigma\in L(V)\) com \(\tau=\sigma^{\mathbb{C}}\))} \iff \text{\(\tau\) comuta com \(\psi\), i.e. \(\tau\circ\psi=\psi\circ\tau\).}éçãé

Passo 2

Direção “ \Rightarrow”: se \tau=\sigma^{\mathbb{C}} para algum \sigma\in L(V), então \tau comuta com \psi.
Explicação do raciocínio e cálculo passo a passo:
  • Pegue qualquer x,y\in V. Então, pela definição de \sigma^{\mathbb{C}},
\tau\bigl(\psi(x+iy)\bigr)=\sigma^{\mathbb{C}}(x-iy)=\sigma(x)-i\,\sigma(y).
  • Por outro lado,
\psi\bigl(\tau(x+iy)\bigr)=\psi\bigl(\sigma^{\mathbb{C}}(x+iy)\bigr)=\psi\bigl(\sigma(x)+i\,\sigma(y)\bigr)=\sigma(x)-i\,\sigma(y).
  • Como as duas expressões coincidem para todo x+iy, obtemos
\tau\circ\psi=\psi\circ\tau.
Comentário didático rápido: a complexificação aplica \sigma separadamente às partes real e imaginária; a conjugação troca só o sinal da parte imaginária. Fazer \sigma^{\mathbb{C}} primeiro e depois conjugação dá o mesmo que fazer conjugação primeiro e depois \sigma^{\mathbb{C}}, por isso comutam.

Passo 3

Preparação teórica curta (fórmulas e propriedades que vamos usar no sentido contrário):
  • A inclusão canônica V\hookrightarrow V^{\mathbb{C}} é x\mapsto x+ i0. Identificamos V com o subespaço \{x+ i0\}\subset V^{\mathbb{C}}.
  • A conjugação \psi fixa exatamente esse subespaço: se x\in V então \psi(x)=x.
  • Uma aplicação \tau\in L\bigl(V^{\mathbb{C}}\bigr) é \mathbb{C}-linear, portanto para todo v\in V^{\mathbb{C}} vale \tau(i v)=i\,\tau(v). Esta propriedade será utilizada.

Passo 4

Direção “ \Leftarrow”: se \tau comuta com \psi, então \tau é a complexificação de alguma \sigma\in L(V).
Passos detalhados e justificados:
  1. Mostrar que \tau preserva o subespaço real V.
  • Tomar x\in V. Então \psi(x)=x. Aplicando a hipótese de comutação,
\psi\bigl(\tau(x)\bigr)=\tau\bigl(\psi(x)\bigr)=\tau(x).
  • Assim \tau(x) é fixado por \psi, logo \tau(x)\in\{v\in V^{\mathbb{C}}\mid\psi(v)=v\}=\{x+ i0\}, que identificamos com V. Portanto \tau(x)\in V. Conclusão: \tau(V)\subset V.
  1. Definir \sigma\coloneqq\tau|_{V}. Então \sigma\colon V\to V é bem definida. Precisamos ver que \sigma é \mathbb{R}-linear: como \tau é \mathbb{C}-linear, em particular é \mathbb{R}-linear, logo \sigma\in L(V).
  2. Mostrar que \tau=\sigma^{\mathbb{C}}. Tome x,y\in V. Usamos a \mathbb{C}-linearidade de \tau e o fato de \tau(x),\tau(y)\in V:
\tau(x+iy)=\tau(x)+\tau(iy)=\tau(x)+i\,\tau(y).
Mas \tau(x)=\sigma(x) e \tau(y)=\sigma(y) por definição de \sigma. Logo
\tau(x+iy)=\sigma(x)+i\,\sigma(y)=\sigma^{\mathbb{C}}(x+iy).
Como isso vale para todo x+iy, concluímos \tau=\sigma^{\mathbb{C}}.
Comentário didático: a chave foi perceber que comutar com conjugação força \tau a enviar vetores “reais” em vetores “reais”, portanto toda a informação de \tau está determinada pela sua restrição a V; então a \mathbb{C}-linearidade garante que essa restrição estende exatamente como complexificação.

Passo 5

Conexão intuitiva e exemplos para fixar a ideia:
  • Intuição: um operador em V^{\mathbb{C}} é uma complexificação de um operador real quando ele não “mistura” de modo diferente a parte real e a parte imaginária; comutar com a conjugação é exatamente a expressão formal dessa ideia — a conjugação troca o sinal da parte imaginária, e se o operador se opera da mesma forma antes ou depois desse “trocar”, então ele age separadamente nas partes real e imaginária exatamente como viria de um operador real.
  • Exemplo simples: V=\mathbb{R}, então V^{\mathbb{C}}=\mathbb{C} e \psi é a conjugação complexa usual. O operador “multiplicação por a\in\mathbb{C}” comuta com \psi exatamente quando a é real. Isso coincide com a afirmação: multiplicação por a é complexificação de uma aplicação real (multiplicação por a vista em \mathbb{R}) se, e somente se, a\in\mathbb{R}.

Resposta

\tau é a complexificação de algum \sigma\in L(V) se, e somente se, \tau\circ\psi=\psi\circ\tau.

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