(Quando uma aplicação linear complexa é uma complexificação?) Seja
um espaço vetorial real com complexificação
e seja
. Prove que
é uma complexificação, isto é,
para algum
, se, e somente se,
comuta com a conjugação
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (lista clara e curta):
- Espaço vetorial real
. - Complexificação
. - Conjugação
dada por . - Um operador linear complexo
. (Isto é, é -linear.) - Definição que vamos usar: se
é -linear, sua complexificação é o operador definido por
para todo
.
O que precisa ser provado: provar a equivalência
Passo 2
Direção “
”: se
para algum
, então
comuta com
.
Explicação do raciocínio e cálculo passo a passo:
- Pegue qualquer
. Então, pela definição de ,
- Por outro lado,
- Como as duas expressões coincidem para todo
, obtemos
Comentário didático rápido: a complexificação aplica
separadamente às partes real e imaginária; a conjugação troca só o sinal da parte imaginária. Fazer
primeiro e depois conjugação dá o mesmo que fazer conjugação primeiro e depois
, por isso comutam.
Passo 3
Preparação teórica curta (fórmulas e propriedades que vamos usar no sentido contrário):
- A inclusão canônica
é . Identificamos com o subespaço . - A conjugação
fixa exatamente esse subespaço: se então . - Uma aplicação
é -linear, portanto para todo vale . Esta propriedade será utilizada.
Passo 4
Direção “
”: se
comuta com
, então
é a complexificação de alguma
.
Passos detalhados e justificados:
- Mostrar que
preserva o subespaço real .
- Tomar
. Então . Aplicando a hipótese de comutação,
- Assim
é fixado por , logo , que identificamos com . Portanto . Conclusão: .
-
Definir . Então
é bem definida. Precisamos ver que é -linear: como é -linear, em particular é -linear, logo . -
Mostrar que
. Tome . Usamos a -linearidade de e o fato de :
Mas
e
por definição de
. Logo
Como isso vale para todo
, concluímos
.
Comentário didático: a chave foi perceber que comutar com conjugação força
a enviar vetores “reais” em vetores “reais”, portanto toda a informação de
está determinada pela sua restrição a
; então a
-linearidade garante que essa restrição estende exatamente como complexificação.
Passo 5
Conexão intuitiva e exemplos para fixar a ideia:
-
Intuição: um operador em
é uma complexificação de um operador real quando ele não “mistura” de modo diferente a parte real e a parte imaginária; comutar com a conjugação é exatamente a expressão formal dessa ideia — a conjugação troca o sinal da parte imaginária, e se o operador se opera da mesma forma antes ou depois desse “trocar”, então ele age separadamente nas partes real e imaginária exatamente como viria de um operador real. -
Exemplo simples:
, então e é a conjugação complexa usual. O operador “multiplicação por ” comuta com exatamente quando é real. Isso coincide com a afirmação: multiplicação por é complexificação de uma aplicação real (multiplicação por vista em ) se, e somente se, .