Seja V um espaço vetorial sobre um corpo F de característica \neq 2 e sejam \rho e \sigma projeções. Prove o seguinte:
Se \rho e \sigma comutam, então \rho \sigma é uma projeção. Nesse caso,
\operatorname{im}(\rho \sigma)=\operatorname{im}(\rho) \cap \operatorname{im}(\sigma) \quad \text { e } \quad \operatorname{ker}(\rho \sigma)=\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{ker}(\sigma) .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: V é um espaço vetorial sobre um corpo F com \operatorname{char}F\neq 2.
  • Dado: \rho:V\to V e \sigma:V\to V são projeções, isto é, aplicações lineares que satisfazem \rho^{2}=\rho e \sigma^{2}=\sigma.
  • Dado adicional: \rho e \sigma comutam, isto é, \rho\sigma=\sigma\rho.
O que se pede:
  1. Mostrar que \rho\sigma é uma projeção (ou seja, linear e idempotente: (\rho\sigma)^{2}=\rho\sigma).
  2. Mostrar que
\operatorname{im}(\rho\sigma)=\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{im}(\sigma)
e
\operatorname{ker}(\rho\sigma)=\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{ker}(\sigma).

Passo 2

Mostrar que \rho\sigma é projeção.
  • Lembrete / definição: uma projeção é uma aplicação linear p:V\to V tal que p^{2}=p. A composição de aplicações lineares é linear, então \rho\sigma é linear porque \rho e \sigma são lineares.
  • Agora a idempotência. Calcular (\rho\sigma)^{2}:
(\rho\sigma)^{2}=\rho\sigma\rho\sigma.
Usando que \rho e \sigma comutam, podemos trocar \sigma\rho por \rho\sigma:
\rho\sigma\rho\sigma=\rho(\sigma\rho)\sigma=\rho(\rho\sigma)\sigma.
Como \rho^{2}=\rho e \sigma^{2}=\sigma, agrupando obtemos
\rho(\rho\sigma)\sigma=(\rho\rho)(\sigma\sigma)=\rho\sigma.
Logo (\rho\sigma)^{2}=\rho\sigma, isto é, \rho\sigma é idempotente. Conclusão: \rho\sigma é projeção.

Passo 3

Provar \operatorname{im}(\rho\sigma)=\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{im}(\sigma).
  • Primeiro incluiridade \subseteq. Seja y\in\operatorname{im}(\rho\sigma). Então existe v\in V tal que y=\rho\sigma(v). Então claramente y\in\operatorname{im}(\rho) porque y=\rho(\sigma(v)). Também, usando que \rho\sigma=\sigma\rho,
y=\rho\sigma(v)=\sigma\rho(v),
portanto y\in\operatorname{im}(\sigma). Assim y\in\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{im}(\sigma). Logo
\operatorname{im}(\rho\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{im}(\sigma).
  • Segunda incluiridade \supseteq. Seja y\in\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{im}(\sigma). Como y\in\operatorname{im}(\rho) e \rho é projeção, vale \rho(y)=y. Como y\in\operatorname{im}(\sigma) e \sigma é projeção, vale \sigma(y)=y. Então
\rho\sigma(y)=\rho(\sigma(y))=\rho(y)=y.
Portanto y\in\operatorname{im}(\rho\sigma). Assim
\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{im}(\sigma)\subseteq\operatorname{im}(\rho\sigma).
Juntando as duas inclusões obtemos
\operatorname{im}(\rho\sigma)=\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{im}(\sigma).

Passo 4

Provar \operatorname{ker}(\rho\sigma)=\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{ker}(\sigma).
  • Inclusão \operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{ker}(\sigma)\subseteq\operatorname{ker}(\rho\sigma).
Tome w\in\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{ker}(\sigma). Então existem u\in\operatorname{ker}(\rho) e t\in\operatorname{ker}(\sigma) tais que w=u+t. Então
\rho\sigma(w)=\rho\sigma(u+t)=\rho(\sigma(u)+\sigma(t))=\rho(\sigma(u))+ \rho(\sigma(t)).
Como t\in\operatorname{ker}(\sigma) temos \sigma(t)=0, e como u\in\operatorname{ker}(\rho) temos \rho(u)=0. Usando que \rho e \sigma comutam,
\rho(\sigma(u))=(\rho\sigma)(u)=(\sigma\rho)(u)=\sigma(\rho(u))=\sigma(0)=0.
Logo \rho\sigma(w)=0, ou seja, w\in\operatorname{ker}(\rho\sigma). Portanto
\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{ker}(\sigma)\subseteq\operatorname{ker}(\rho\sigma).
  • Inclusão \operatorname{ker}(\rho\sigma)\subseteq\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{ker}(\sigma).
Tome v\in\operatorname{ker}(\rho\sigma), isto é, \rho\sigma(v)=0. Como \rho e \sigma comutam, \sigma\rho(v)=\rho\sigma(v)=0. Defina
a:=v-\rho(v),\qquad b:=\rho(v).
Então v=a+b. Verificar que a\in\operatorname{ker}(\rho): \rho(a)=\rho(v)-\rho^{2}(v)=\rho(v)-\rho(v)=0. Verificar que b\in\operatorname{ker}(\sigma): como \sigma\rho(v)=0 temos \sigma(b)=\sigma(\rho(v))=0. Assim v=a+b com a\in\operatorname{ker}(\rho) e b\in\operatorname{ker}(\sigma), o que mostra v\in\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{ker}(\sigma). Portanto
\operatorname{ker}(\rho\sigma)\subseteq\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{ker}(\sigma).
Combinando as duas inclusões obtemos
\operatorname{ker}(\rho\sigma)=\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{ker}(\sigma).
Observação: a prova acima não usou a hipótese \operatorname{char}F\neq 2; essa hipótese não é necessária para as afirmações pedidas.

Resposta

\rho\sigma é uma projeção.
\operatorname{im}(\rho\sigma)=\operatorname{im}(\rho)\cap\operatorname{im}(\sigma)
\operatorname{ker}(\rho\sigma)=\operatorname{ker}(\rho)+\operatorname{ker}(\sigma)

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