Seja
um espaço vetorial sobre um corpo
de característica
e sejam
e
projeções. Prove o seguinte:
Se
e
comutam, então
é uma projeção. Nesse caso,
Se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
é um espaço vetorial sobre um corpo com . - Dado:
e são projeções, isto é, aplicações lineares que satisfazem e . - Dado adicional:
e comutam, isto é, .
O que se pede:
- Mostrar que
é uma projeção (ou seja, linear e idempotente: ). - Mostrar que
e
Passo 2
Mostrar que
é projeção.
-
Lembrete / definição: uma projeção é uma aplicação linear
tal que . A composição de aplicações lineares é linear, então é linear porque e são lineares. -
Agora a idempotência. Calcular
:
Usando que
e
comutam, podemos trocar
por
:
Como
e
, agrupando obtemos
Logo
, isto é,
é idempotente. Conclusão:
é projeção.
Passo 3
Provar
.
- Primeiro incluiridade
. Seja . Então existe tal que . Então claramente porque . Também, usando que ,
portanto
. Assim
. Logo
- Segunda incluiridade
. Seja . Como e é projeção, vale . Como e é projeção, vale . Então
Portanto
. Assim
Juntando as duas inclusões obtemos
Passo 4
Provar
.
- Inclusão
.
Tome
. Então existem
e
tais que
. Então
Como
temos
, e como
temos
. Usando que
e
comutam,
Logo
, ou seja,
. Portanto
- Inclusão
.
Tome
, isto é,
. Como
e
comutam,
. Defina
Então
. Verificar que
:
. Verificar que
: como
temos
. Assim
com
e
, o que mostra
. Portanto
Combinando as duas inclusões obtemos
Observação: a prova acima não usou a hipótese
; essa hipótese não é necessária para as afirmações pedidas.