Aplicação do Método de Frobenius. Encontre as raízes da equação indicial das seguintes EDOs.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e informa o ponto singula
. O que é pedido: encontrar as raízes da equação indicial associada a essa EDO (ou seja, os valores de
que aparecem ao aplicar o método de Frobenius em
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é dada explicitamente, com coeficientes que envolvem potências de
. - O ponto de interesse é
. - O objetivo é obter a equação indicial e suas raízes.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática breve e necessária para entender os próximos passos).
Quando um ponto
é singular regular para uma EDO de segunda ordem, o método de Frobenius diz para procurar soluções da forma
onde
é um número que ainda vamos determinar (as “raízes da equação indicial”) e
. Aqui:
-
controla o comportamento principal (a potência mais baixa) da solução em ; -
são coeficientes da série que, depois de substituir na EDO, satisfazem uma relação de recorrência; - a equação indicial é obtida ao igualar a zero o coeficiente do menor expoente de
que aparece após a substituição (normalmente o termo com ).
Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Escrever as derivadas da série proposta e substituí-las na EDO.
Assumimos
Suas derivadas são
Multiplicando pelos fatores da EDO:
Somando tudo e igualando a zero obtemos a série
Passo 4
Identificar a equação indicial.
A equação indicial vem do coeficiente do menor expoente de
, que corresponde a
na soma acima. Portanto substituímos
no fator entre colchetes para obter a equação em
:
Agora simplificamos essa expressão:
A equação indicial é então
Passo 5
Resolver a equação indicial.
Resolvendo a quadrática
podemos fatorar:
Logo as raízes são
Passo 6
Interpretação e verificação rápida (didática, para saber o que essas raízes significam na prática).
Observe que o fator que aparece no coeficiente geral pode ser fatorado para qualquer
:
Assim a relação de recorrência fica
Isto implica que, dependendo do
escolhido, muitos coeficientes
serão forçados a zero, e as soluções resultam em potências simples de
. Por exemplo, ao escolher
obtém-se essencialmente
e com
obtém-se
(cada caso pode permitir um pequeno polinômio truncado na série). Isso confirma que as duas raízes encontradas correspondem a soluções elementares
e
.
Uma verificação direta: testar
na EDO dá
logo
e
satisfazem a EDO, confirmando as raízes da equação indicial.