Aplicação do Método de Frobenius. Encontre as raízes da equação indicial das seguintes EDOs.
x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+2 y=0 ; x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
x^{2}y''+4x y'+2y=0
e informa o ponto singula x_{0}=0. O que é pedido: encontrar as raízes da equação indicial associada a essa EDO (ou seja, os valores de r que aparecem ao aplicar o método de Frobenius em x=0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é dada explicitamente, com coeficientes que envolvem potências de x.
  • O ponto de interesse é x=0.
  • O objetivo é obter a equação indicial e suas raízes.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática breve e necessária para entender os próximos passos).
Quando um ponto x=0 é singular regular para uma EDO de segunda ordem, o método de Frobenius diz para procurar soluções da forma
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r},
onde r é um número que ainda vamos determinar (as “raízes da equação indicial”) e a_0\neq0. Aqui:
  • r controla o comportamento principal (a potência mais baixa) da solução em x=0;
  • a_n são coeficientes da série que, depois de substituir na EDO, satisfazem uma relação de recorrência;
  • a equação indicial é obtida ao igualar a zero o coeficiente do menor expoente de x que aparece após a substituição (normalmente o termo com n=0).
Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escrever as derivadas da série proposta e substituí-las na EDO.
Assumimos
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}.
Suas derivadas são
y'=\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)\,a_n x^{n+r-1},
y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)\,a_n x^{n+r-2}.
Multiplicando pelos fatores da EDO:
x^{2}y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+r)(n+r-1)\,a_n x^{n+r},
4x y'=\sum_{n=0}^{\infty} 4(n+r)\,a_n x^{n+r},
2y=\sum_{n=0}^{\infty} 2a_n x^{n+r}.
Somando tudo e igualando a zero obtemos a série
\sum_{n=0}^{\infty} \big[(n+r)(n+r-1)+4(n+r)+2\big] a_n x^{n+r}=0.

Passo 4

Identificar a equação indicial.
A equação indicial vem do coeficiente do menor expoente de x, que corresponde a n=0 na soma acima. Portanto substituímos n=0 no fator entre colchetes para obter a equação em r:
(r)(r-1)+4(r)+2=0.
Agora simplificamos essa expressão:
r(r-1)+4r+2 = r^{2}-r+4r+2 = r^{2}+3r+2.
A equação indicial é então
r^{2}+3r+2=0.

Passo 5

Resolver a equação indicial.
Resolvendo a quadrática
r^{2}+3r+2=0
podemos fatorar:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0.
Logo as raízes são
r_{1}=-1,\qquad r_{2}=-2.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida (didática, para saber o que essas raízes significam na prática).
Observe que o fator que aparece no coeficiente geral pode ser fatorado para qualquer n:
(n+r)(n+r-1)+4(n+r)+2 = (n+r)^2+3(n+r)+2 = (n+r+1)(n+r+2).
Assim a relação de recorrência fica
(n+r+1)(n+r+2)\,a_n=0\quad\text{para todo }n\ge0.
Isto implica que, dependendo do r escolhido, muitos coeficientes a_n serão forçados a zero, e as soluções resultam em potências simples de x. Por exemplo, ao escolher r=-1 obtém-se essencialmente y\propto x^{-1} e com r=-2 obtém-se y\propto x^{-2} (cada caso pode permitir um pequeno polinômio truncado na série). Isso confirma que as duas raízes encontradas correspondem a soluções elementares x^{-1} e x^{-2}.
Uma verificação direta: testar y=x^{k} na EDO dá
x^{2}\cdot k(k-1)x^{k-2}+4x\cdot k x^{k-1}+2x^{k} = \big(k^{2}+3k+2\big)x^{k} = (k+1)(k+2)x^{k},
logo k=-1 e k=-2 satisfazem a EDO, confirmando as raízes da equação indicial.

Resposta

r_{1}=-1,\; r_{2}=-2

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