Pontos Ordinários ou Singulares. Determine se os pontos são ordinários, singulares regulares ou singular irregular.
\left(x^{2}-4\right)^{2} y^{\prime \prime}+(x-2) y^{\prime}+y=0 ; x_{0}=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem
\left(x^{2}-4\right)^{2}y''+(x-2)y'+y=0
e pede a classificação do ponto x_{0}=2 em uma das três categorias: ponto ordinário, ponto singular regular ou ponto singular irregular.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficiente de y'': a_{2}(x)=\left(x^{2}-4\right)^{2}.
  • Coeficiente de y': a_{1}(x)=x-2.
  • Coeficiente de y: a_{0}(x)=1.
  • Ponto a examinar: x_{0}=2.

Passo 2

Relembrando a definição e o critério usado (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
  1. Uma equação linear de 2ª ordem no formato
a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=0
tem um ponto x_{0} ordinário se a_{2}(x_{0})\neq 0. Nesse caso as funções
P(x)=\frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)},\qquad Q(x)=\frac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)}
são analíticas (holomorfas) perto de x_{0}.
  1. Se a_{2}(x_{0})=0, então x_{0} é um ponto singular. Para distinguir singular regular de irregular usa-se o critério de Frobenius:
  • x_{0} é um ponto singular regular se (x-x_{0})P(x) e (x-x_{0})^{2}Q(x) são analíticas em x_{0}.
  • Se uma (ou ambas) dessas funções não for analítica em x_{0}, o ponto é singular irregular.
Explicação do que significa “analítica aqui”: significa que a função não tem pólos nem singularidades essenciais em x_{0} — ela admite expansão em série de Taylor no entorno de x_{0}.

Passo 3

Verificação inicial se o ponto é ordinário ou singular:
Calcular a_{2}(2). Observando que
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
temos
a_{2}(x)=(x^{2}-4)^{2}=(x-2)^{2}(x+2)^{2}.
Assim
a_{2}(2)=(2-2)^{2}(2+2)^{2}=0.
Como a_{2}(2)=0, o ponto x_{0}=2 é um ponto singular (não é ordinário). Agora precisamos ver se é singular regular ou irregular.

Passo 4

Colocar a equação na forma padrão para identificar P(x) e Q(x). Dividindo a equação por a_{2}(x)=(x^{2}-4)^{2} obtemos
y''+P(x)y'+Q(x)y=0,
onde
P(x)=\frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}=\frac{x-2}{(x^{2}-4)^{2}}, \qquad Q(x)=\frac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)}=\frac{1}{(x^{2}-4)^{2}}.
Agora simplificamos usando a fatoração já obtida:
(x^{2}-4)^{2}=(x-2)^{2}(x+2)^{2}.
Então
P(x)=\frac{x-2}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}}=\frac{1}{(x-2)(x+2)^{2}}
e
Q(x)=\frac{1}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}}.

Passo 5

Verificar as quantidades exigidas pelo critério de Frobenius:
Calcular (x-2)P(x):
(x-2)P(x)=(x-2)\cdot\frac{1}{(x-2)(x+2)^{2}}=\frac{1}{(x+2)^{2}}.
A função \dfrac{1}{(x+2)^{2}} é claramente analítica em x=2 (não tem singularidade em x=2; tem valor finito). Em particular,
(x-2)P(x)\Big|_{x=2}=\frac{1}{(2+2)^{2}}=\frac{1}{16}.
Calcular (x-2)^{2}Q(x):
(x-2)^{2}Q(x)=(x-2)^{2}\cdot\frac{1}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}}=\frac{1}{(x+2)^{2}}.
Novamente obtemos a mesma função, que é analítica em x=2 e vale \dfrac{1}{16} ali.

Passo 6

Conclusão a partir das verificações:
  • Como (x-2)P(x) e (x-2)^{2}Q(x) são analíticas em x=2, o ponto singular x_{0}=2 satisfaz o critério de Frobenius para ser um ponto singular regular.
Comentário pedagógico rápido: isso significa que perto de x=2 existe uma solução que pode ser procurada pelo método de Frobenius (séries do tipo (x-2)^{r}\sum_{n\ge0}a_{n}(x-2)^{n} com expoente r determinado pela equação indicial).

Resposta

Ponto singular regular.

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