Pontos Ordinários ou Singulares. Determine se os pontos são ordinários, singulares regulares ou singular irregular. \left(x^{2}-4\right)^{2} y^{\prime \prime}+(x-2) y^{\prime}+y=0 ; x_{0}=2
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem
\left(x^{2}-4\right)^{2}y''+(x-2)y'+y=0
e pede a classificação do ponto x_{0}=2 em uma das três categorias: ponto ordinário, ponto singular regular ou ponto singular irregular.
Informações relevantes fornecidas:
Coeficiente de y'': a_{2}(x)=\left(x^{2}-4\right)^{2}.
Coeficiente de y': a_{1}(x)=x-2.
Coeficiente de y: a_{0}(x)=1.
Ponto a examinar: x_{0}=2.
Passo 2
Relembrando a definição e o critério usado (passo-a-passo didático, sem pular etapas):
Uma equação linear de 2ª ordem no formato
a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=0
tem um ponto x_{0} ordinário se a_{2}(x_{0})\neq 0. Nesse caso as funções
Se a_{2}(x_{0})=0, então x_{0} é um ponto singular. Para distinguir singular regular de irregular usa-se o critério de Frobenius:
x_{0} é um ponto singular regular se (x-x_{0})P(x) e (x-x_{0})^{2}Q(x) são analíticas em x_{0}.
Se uma (ou ambas) dessas funções não for analítica em x_{0}, o ponto é singular irregular.
Explicação do que significa “analítica aqui”: significa que a função não tem pólos nem singularidades essenciais em x_{0} — ela admite expansão em série de Taylor no entorno de x_{0}.
Passo 3
Verificação inicial se o ponto é ordinário ou singular:
Calcular a_{2}(2). Observando que
x^{2}-4=(x-2)(x+2),
temos
a_{2}(x)=(x^{2}-4)^{2}=(x-2)^{2}(x+2)^{2}.
Assim
a_{2}(2)=(2-2)^{2}(2+2)^{2}=0.
Como a_{2}(2)=0, o ponto x_{0}=2 é um ponto singular (não é ordinário). Agora precisamos ver se é singular regular ou irregular.
Passo 4
Colocar a equação na forma padrão para identificar P(x) e Q(x). Dividindo a equação por a_{2}(x)=(x^{2}-4)^{2} obtemos
Novamente obtemos a mesma função, que é analítica em x=2 e vale \dfrac{1}{16} ali.
Passo 6
Conclusão a partir das verificações:
Como (x-2)P(x) e (x-2)^{2}Q(x) são analíticas em x=2, o ponto singular x_{0}=2 satisfaz o critério de Frobenius para ser um ponto singular regular.
Comentário pedagógico rápido: isso significa que perto de x=2 existe uma solução que pode ser procurada pelo método de Frobenius (séries do tipo (x-2)^{r}\sum_{n\ge0}a_{n}(x-2)^{n} com expoente r determinado pela equação indicial).