Transformada de Laplace e Transformada de Laplace Inversa. Resolva as operações.
\mathcal{L}\left\{\operatorname{sinh} (5 t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de \operatorname{sinh}(5t). Ou seja, encontrar \mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(5t)\}. As informações dadas são apenas a função a transformar: \operatorname{sinh}(5t).

Passo 2

Lembrete da definição de transformada de Laplace: para uma função f(t) definida em t\ge0,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para valores de s na região de convergência apropriada. Aqui vamos aplicar essa definição com f(t)=\operatorname{sinh}(5t).

Passo 3

Usar uma identidade que facilita a integração. A função hiperbólica \operatorname{sinh} pode ser escrita em termos de exponenciais:
\operatorname{sinh}(5t)=\frac{e^{5t}-e^{-5t}}{2}.
Substituindo na integral da transformada:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(5t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\frac{e^{5t}-e^{-5t}}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\big(e^{-(s-5)t}-e^{-(s+5)t}\big)\,dt.

Passo 4

Calcular as integrais exponenciais separadamente. Para a\in\mathbb{C} com \operatorname{Re}(a)>0 vale
\int_{0}^{\infty}e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a}.
Aplicando isso aos dois termos da integral:
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-5)t}\,dt=\frac{1}{s-5}\quad\text{se}\quad\operatorname{Re}(s-5)>0,
\int_{0}^{\infty}e^{-(s+5)t}\,dt=\frac{1}{s+5}\quad\text{se}\quad\operatorname{Re}(s+5)>0.
Substituindo na expressão com o fator 1/2:
\mathcal{L}\{\operatorname{sinh}(5t)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-5}-\frac{1}{s+5}\right).
Fazer a operação algébrica para somar as frações:
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-5}-\frac{1}{s+5}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+5)-(s-5)}{(s-5)(s+5)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{s^{2}-25} =\frac{5}{s^{2}-25}.

Passo 5

Determinar a região de convergência. Para que ambas as integrais usadas existam é preciso \operatorname{Re}(s-5)>0, ou seja
\operatorname{Re}(s)>5.
Portanto a expressão obtida é válida para \operatorname{Re}(s)>5. (Note que a segunda integral exige apenas \operatorname{Re}(s)>-5, mas a condição mais restritiva domina.)

Resposta

\displaystyle \frac{5}{s^{2}-25},\\ \operatorname{Re}(s)>5

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