Transformada de Laplace e Transformada de Laplace Inversa. Resolva as operações.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
. Ou seja, encontrar
. As informações dadas são apenas a função a transformar:
.
Passo 2
Lembrete da definição de transformada de Laplace: para uma função
definida em
,
onde
é uma variável complexa e a integral converge para valores de
na região de convergência apropriada. Aqui vamos aplicar essa definição com
.
Passo 3
Usar uma identidade que facilita a integração. A função hiperbólica
pode ser escrita em termos de exponenciais:
Substituindo na integral da transformada:
Passo 4
Calcular as integrais exponenciais separadamente. Para
com
vale
Aplicando isso aos dois termos da integral:
Substituindo na expressão com o fator
:
Fazer a operação algébrica para somar as frações:
Passo 5
Determinar a região de convergência. Para que ambas as integrais usadas existam é preciso
, ou seja
Portanto a expressão obtida é válida para
. (Note que a segunda integral exige apenas
, mas a condição mais restritiva domina.)