Pontos Ordinários ou Singulares. Determine se os pontos são ordinários, singulares regulares ou singular irregular.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencal
e pede a classificação do ponto
em: ponto ordinário, singular regular ou singular irregular.
Informações dadas:
- Coeficiente da derivada de ordem 2:
. - Coeficiente da derivada de ordem 1:
. - Coeficiente do termo sem derivada:
. - Ponto a classificar:
.
Passo 2
Vou explicar a regra usada para classificar pontos (passo-a-passo, sem pular etapas).
Para uma equação linear de segunda ordem da forma
- o ponto
é um ponto ordinário se . - se
, então é um ponto singular. Entre os pontos singulares distinguimos: - singular regular (ou ponto singular regular) se, após dividir a equação por
e escrever na forma padrão as funções e satisfazem que e são analíticas em (ou seja, não têm pólos em ). - caso contrário (alguma dessas quantidades tenha pólo de ordem maior), o ponto é singular irregular.
- singular regular (ou ponto singular regular) se, após dividir a equação por
Em palavras mais simples: depois de dividir por
, é permitido que
tenha pólo simples em
e que
tenha pólo até de segunda ordem; se os pólos forem exatamente desses tipos (ou as quantidades acima forem finitas), é regular; se forem piores, é irregular.
Passo 3
Verificar primeiro se o ponto é ordinário ou singular avaliando
.
Temos
Como
, o ponto
não é ordinário; é um ponto singular. Agora vamos decidir se é singular regular ou irregular aplicando o teste do passo anterior.
Passo 4
Colocar a equação na forma padrão e calcular
e
.
Dividindo a equação por
(para
) obtemos
com
e
Note que a simplificação em
foi possível porque o fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador e não se anula em
.
Passo 5
Aplicar o critério de singular regular: verificar
e
em
.
Calcular
:
que é uma função constante (logo analítica) no entorno de
.
Calcular
:
A função
é analítica no ponto
(valor igual a
em
). Portanto
e
são ambas analíticas em
.
Como as duas quantidades pedidas são analíticas em
, o ponto singular é regular.
Passo 6
Conclusão e interpretação prática:
é um ponto singular regular. Isso também significa que o método de Frobenius (séries do tipo
vezes série em potências de
) pode ser usado para procurar soluções em torno de
.
Resposta
Ponto singular regular.