Pontos Ordinários ou Singulares. Determine se os pontos são ordinários, singulares regulares ou singular irregular.
x^{2}(x+1) y^{\prime \prime}+x(x+1) y^{\prime}+y=0 ; x_{0}=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencal
x^{2}(x+1)\,y'' + x(x+1)\,y' + y = 0
e pede a classificação do ponto x_{0}=0 em: ponto ordinário, singular regular ou singular irregular.
Informações dadas:
  • Coeficiente da derivada de ordem 2: a_{2}(x)=x^{2}(x+1).
  • Coeficiente da derivada de ordem 1: a_{1}(x)=x(x+1).
  • Coeficiente do termo sem derivada: a_{0}(x)=1.
  • Ponto a classificar: x_{0}=0.

Passo 2

Vou explicar a regra usada para classificar pontos (passo-a-passo, sem pular etapas).
Para uma equação linear de segunda ordem da forma
a_{2}(x)\,y''+a_{1}(x)\,y'+a_{0}(x)\,y=0,
  • o ponto x_{0} é um ponto ordinário se a_{2}(x_{0})\neq 0.
  • se a_{2}(x_{0})=0, então x_{0} é um ponto singular. Entre os pontos singulares distinguimos:
    • singular regular (ou ponto singular regular) se, após dividir a equação por a_{2}(x) e escrever na forma padrão y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0,as funções P(x)=\dfrac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)} e Q(x)=\dfrac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)} satisfazem que (x-x_{0})P(x) e (x-x_{0})^{2}Q(x) são analíticas em x_{0} (ou seja, não têm pólos em x_{0}).
    • caso contrário (alguma dessas quantidades tenha pólo de ordem maior), o ponto é singular irregular.
Em palavras mais simples: depois de dividir por a_{2}, é permitido que P tenha pólo simples em x_{0} e que Q tenha pólo até de segunda ordem; se os pólos forem exatamente desses tipos (ou as quantidades acima forem finitas), é regular; se forem piores, é irregular.

Passo 3

Verificar primeiro se o ponto é ordinário ou singular avaliando a_{2}(0).
Temos
a_{2}(x)=x^{2}(x+1) \quad\Rightarrow\quad a_{2}(0)=0^{2}(0+1)=0.
Como a_{2}(0)=0, o ponto x_{0}=0 não é ordinário; é um ponto singular. Agora vamos decidir se é singular regular ou irregular aplicando o teste do passo anterior.

Passo 4

Colocar a equação na forma padrão e calcular P(x) e Q(x).
Dividindo a equação por a_{2}(x)=x^{2}(x+1) (para x\neq0) obtemos
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0,
com
P(x)=\frac{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}=\frac{x(x+1)}{x^{2}(x+1)}=\frac{1}{x},
e
Q(x)=\frac{a_{0}(x)}{a_{2}(x)}=\frac{1}{x^{2}(x+1)}.
Note que a simplificação em P(x) foi possível porque o fator (x+1) aparece tanto no numerador quanto no denominador e não se anula em x=0.

Passo 5

Aplicar o critério de singular regular: verificar (x-x_{0})P(x) e (x-x_{0})^{2}Q(x) em x_{0}=0.
Calcular (x)P(x):
x\,P(x)=x\cdot\frac{1}{x}=1,
que é uma função constante (logo analítica) no entorno de x=0.
Calcular x^{2}Q(x):
x^{2}Q(x)=x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}(x+1)}=\frac{1}{x+1}.
A função \dfrac{1}{x+1} é analítica no ponto x=0 (valor igual a 1 em x=0). Portanto (x)P(x) e x^{2}Q(x) são ambas analíticas em x=0.
Como as duas quantidades pedidas são analíticas em x_{0}=0, o ponto singular é regular.

Passo 6

Conclusão e interpretação prática: x_{0}=0 é um ponto singular regular. Isso também significa que o método de Frobenius (séries do tipo x^{r} vezes série em potências de x) pode ser usado para procurar soluções em torno de x=0.

Resposta

Ponto singular regular.

Exercícios relacionados