Aplicação do Produto Escalar ao Código ISBN - O código ISBN (International Standard Book Number) é um indicativo numérico utilizado internacionalmente para a identificação de livros. Consiste de dez dígitos. Os nove primeiros dígitos deste número estão divididos em três grupos: o primeiro grupo representa o país no qual originou o livro, o segundo identifica a editora que o publicou e o terceiro identifica o título do próprio livro. O décimo dígito denominado dígito de verificação, é calculado a partir dos nove primeiros e é utilizado para garantir que não há erro de digitação nos nove primeiros, por exemplo, numa transmissão eletrônica do ISBN pela Internet. Veja a seguir como calcular o dígito verificador:
(1) Considere os 9 primeiros dígitos do ISBN como um vetor b de R^9 e seja a o vetor a=(1,2,3,4,5,6,7,8,9).
(2) Calcule o produto escalar a cdot b.
(3) Divida a cdot b por 11, produzindo um resto c que é um inteiro entre 0 e 10 . O dígito de verificação é tomado como sendo c com a ressalva de trocar 10 por X para evitar mais um dígito.
Em cada parte, determine se o número dado é um ISBN válido conferindo seu dígito de verificação.
85-294-0202-2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ISBN ,85-294-0202-2 é válido, usando o produto escalar em R^9. A ideia é formar o vetor vec b com os nove primeiros dígitos, usar o vetor fixo vec a=(1,2,3,4,5,6,7,8,9), calcular vec acdotvec b, tomar o resto da divisão por 11 e comparar com o dígito verificador fornecido.

Passo 2

Extraímos os nove primeiros dígitos e montamos
vec b = (8,5,2,9,4,0,2,0,2)
Mantemos
vec a = (1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Passo 3

Calculamos o produto escalar
vec acdotvec b =1cdot8 + 2cdot5 + 3cdot2 + 4cdot9 + 5cdot4 + 6cdot0 + 7cdot2 + 8cdot0 + 9cdot2
Fazendo as contas:
1cdot8 = 8, 2cdot5 = 10, 3cdot2 = 6, 4cdot9 = 36, 5cdot4 = 20, 6cdot0 = 0, 7cdot2 = 14, 8cdot0 = 0, 9cdot2 = 18
Somando tudo dá
vec acdotvec b = 8 + 10 + 6 + 36 + 20 + 0 + 14 + 0 + 18 = 112

Passo 4

Tomamos o resto da divisão de 112 por 11:
112 bmod 11 = 2
Esse rest 2 é o dígito verificador esperado (se fosse 10 usaríamos “X”).

Passo 5

O ISBN informado tem de fato o dígito de verificação igual a 2. Como o resto calculado também é 2, concluímos que o ISBN está correto.

Resposta

O ISBN 85-294-0202-2 é válido.

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