O carro de uma montanha-russa anda 200 ft na horizontal e depois sobre uma rampa de 135 ft , que faz ângulo de 30^circ com a horizontal. Depois desce uma ladeira de 200 ft , num ângulo de 40^circ para baixo. Qual o seu deslocamento, em relação ao ponto de partida, ao atingir o final do movimento?
obs: ft é o símbolo para a unidade de medida de comprimento pé.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento em três trechos e pede o deslocamento resultante vetorial do carro em relação ao ponto de partida. O conteúdo da matéria envolve decomposição de vetores em componentes e soma vetorial. Vamos representar cada trecho por um vetor e usar trigonometria para achar as componentes horizontais e verticais.

Passo 2

Denotemos os vetores:
vec V1 = 200,hat imath + 0,hat jmath
(200 ft na horizontal),
vec V2 = 135cos(30^circ),hat imath ;+;135sin(30^circ),hat jmath
(rampa de 135 ft a 30^circ acima da horizontal),
vec V3 = 200cos(40^circ),hat imath ;-;200sin(40^circ),hat jmath
(ladeira de 200 ft a 40^circ abaixo da horizontal).

Passo 3

Calculando numericamente as componentes:
cos(30^circ)=0,8660, sin(30^circ)=0,5, cos(40^circ)=0,7660, sin(40^circ)=0,6428
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vec V2 approx (116,91,hat imath + 67,50,hat jmath), vec V3 approx (153,21,hat imath - 128,56,hat jmath)

Passo 4

Somamos as componentes para obter o vetor resultante vec R=vec V1+vec V2+vec V3:
Rx = 200 + 116,91 + 153,21 = 470,12, Ry = 0 + 67,50 - 128,56 = -61,06

Passo 5

A magnitude de vec R é
|vec R| = raizRx^2 + Ry^2 = raiz(470,12)^2 + (-61,06)^2 approx 474,04 ft
O ângulo theta abaixo da horizontal satisfaz
tantheta = RyRx = -61,06470,12approx -0,130 Longrightarrow theta approx -7,4^circ

Resposta

O deslocamento resultante é de aproximadamente 474,04 ft num ângulo de 7,4^circ abaixo da horizontal.

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