Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de M2 times 2(R) :
todas as matrizes 2 times 2 com elementos inteiros.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto
S = A=(aij)in M2times2(R) mid aijinZ para todo i,j
é um subespaço de M2times2(R). Vamos usar os três critérios de subespaço:
  1. 0in S.
  2. Fechamento em adição.
  3. Fechamento em multiplicação por escalar real.

Passo 2

Verificamos o elemento neutro da adição (a matriz zero) está em S. A matriz
0 = 0 & 0 0 & 0
tem entradas todas em Z, logo 0in S.

Passo 3

Verificamos a adição. Se A,Bin S, então todas as entradas de A e de B são inteiras. A soma de inteiros é inteira, então as entradas de A+B continuam em Z. Logo A+Bin S.

Passo 4

Verificamos a multiplicação por escalar real. Seja e
com . As entradas de são . Se, por exemplo, e , então . Assim . Logo não é fechado sob multiplicação por escalares reais.

Resposta

O conjunto das matrizes 2times2 com entradas inteiras não é subespaço de M2times2(R).

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