Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de :
todas as matrizes com elementos inteiros.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto
é um subespaço de . Vamos usar os três critérios de subespaço:
.
Fechamento em adição.
Fechamento em multiplicação por escalar real.
Passo 2
Verificamos o elemento neutro da adição (a matriz zero) está em . A matriz
tem entradas todas em Z, logo 0in S.
Passo 3
Verificamos a adição. Se A,Bin S, então todas as entradas de A e de B são inteiras. A soma de inteiros é inteira, então as entradas de A+B continuam em Z. Logo A+Bin S.
Passo 4
Verificamos a multiplicação por escalar real. Seja e
com . As entradas de são . Se, por exemplo, e , então . Assim . Logo não é fechado sob multiplicação por escalares reais.
Resposta
O conjunto das matrizes 2times2 com entradas inteiras não é subespaço de M2times2(R).