Aplicação do teorema: Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, onde \vec{F}(x, y, z)=\left(x+y e^{z}, y+z e^{x}, z^{2}+x e^{y}\right), S é a fronteira do sólido W interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1, entre os planos z=0 e z=x+2.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\bigl(x+y e^{z},\; y+z e^{x},\; z^{2}+x e^{y}\bigr).
  • A superfície S é a fronteira do sólido W interior ao cilindro \,x^{2}+y^{2}=1, entre os planos \,z=0 e \,z=x+2.
  • O enunciado pede o fluxo de \vec{F} através de S, ou seja calcular \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.
Informações relevantes tiradas do enunciado:
  • A base projetada no plano xy é o disco \{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • O plano superior do sólido é z=x+2 (ou seja, z varia de 0 até x+2 sobre o disco).
  • O campo \vec{F} é suficientemente suave (derivadas parciais contínuas), então operações de integração e divergência abaixo são válidas.

Passo 2

Escolha do método e enunciado da ferramenta que vou usar.
  • Uma maneira muito eficiente para calcular o fluxo pela superfície fechada S de um sólido W é aplicar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Esse teorema afirma:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{W} \operatorname{div}\vec{F}\,dV,
onde \operatorname{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}+\dfrac{\partial F_3}{\partial z}.
  • Justificativa rápida de aplicabilidade: W é um sólido limitado por superfícies lisas e fechadas e \vec{F} tem derivadas parciais contínuas, então o teorema vale. Logo vou transformar o problema de fluxo sobre S em um integral triplo sobre W.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{F}.
  • Componentes: F_1(x,y,z)=x+y e^{z}, F_2(x,y,z)=y+z e^{x}, F_3(x,y,z)=z^{2}+x e^{y}.
  • Derivadas parciais:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial F_2}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial F_3}{\partial z}=2z.
  • Portanto
\operatorname{div}\vec{F}=1+1+2z=2+2z=2(1+z).

Passo 4

Montar o integral triplo sobre W usando coordenadas cilíndricas.
  • Como a projeção do sólido no plano xy é o disco de raio 1, é natural usar coordenadas cilíndricas. No sistema cilíndrico: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z e o elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
  • O enunciado fornece o limite superior em z: z=x+2. Substituindo x=r\cos\theta (pegado do enunciado) obtemos o teto
z_{\text{max}}=r\cos\theta+2.
  • Assim os limites são:
0\le r\le 1,\quad 0\le\theta\le 2\pi,\quad 0\le z\le r\cos\theta+2.

Passo 5

Escrever o integral explícito do fluxo.
Usando o teorema da divergência e \operatorname{div}\vec{F}=2(1+z):
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{W} 2(1+z)\,dV = 2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\,r\cos\theta+2} (1+z)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 6

Integração em z (primeira integral interna).
  • Calcule \displaystyle \int_{0}^{a}(1+z)\,dz com a=r\cos\theta+2:
\int_{0}^{a}(1+z)\,dz = \Bigl[z+\frac{z^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{a}=a+\frac{a^{2}}{2}.
  • Substituindo a=r\cos\theta+2 e multiplicando por r e por 2:
2\cdot r\left(a+\frac{a^{2}}{2}\right)=2r a + r a^{2}.
  • Agora desenvolver algebraicamente com a=2+r\cos\theta:
2r a + r a^{2} = 2r(2+r\cos\theta) + r(2+r\cos\theta)^{2}.
  • Expandindo passo a passo:
2r(2+r\cos\theta)=4r+2r^{2}\cos\theta,
(2+r\cos\theta)^{2}=4+4r\cos\theta+r^{2}\cos^{2}\theta,
r(2+r\cos\theta)^{2}=4r+4r^{2}\cos\theta+r^{3}\cos^{2}\theta.
  • Somando as duas parcelas:
(4r+2r^{2}\cos\theta) + (4r+4r^{2}\cos\theta+r^{3}\cos^{2}\theta) =8r+6r^{2}\cos\theta + r^{3}\cos^{2}\theta.
  • Logo, após a integração em z o integrando para as integrais em r,\theta é
8r+6r^{2}\cos\theta + r^{3}\cos^{2}\theta.

Passo 7

Integrar em r e \theta.
  • O integral total torna-se
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\bigl(8r+6r^{2}\cos\theta + r^{3}\cos^{2}\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
  • Observação de simetria: \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0, então a segunda parcela (com \cos\theta) não contribui.
  • Calcule as contribuições restantes separadamente.
  1. Primeira parcela:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}8r\,dr\,d\theta =8\left(\int_{0}^{2\pi}d\theta\right)\left(\int_{0}^{1} r\,dr\right) =8\cdot(2\pi)\cdot\frac{1}{2}=8\pi.
  1. Terceira parcela:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta =\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right).
  • Sabendo \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi e \displaystyle\int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\frac{1}{4}, obtemos
\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{4}.
  • Somando as contribuições não nulas:
8\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{32\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{33\pi}{4}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida.
  • Todas as etapas usam apenas manipulações elementares: cálculo da divergência, troca de fluxo por integral tripla via Teorema da Divergência, uso de coordenadas cilíndricas (jacobiano r) e integração direto em z seguida de integrações em r e \theta.
  • Conferência de sinais e simetrias: o termo com \cos\theta é ímpar na rotação completa e se anula, como esperamos pela simetria do disco.

Resposta

\dfrac{33\pi}{4}

Exercícios relacionados