Aplicação do teorema: Calcule
, onde
é a fronteira do sólido
interior ao cilindro
, entre os planos
e
.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
- O campo vetorial é
. - A superfície
é a fronteira do sólido interior ao cilindro , entre os planos e . - O enunciado pede o fluxo de
através de , ou seja calcular .
Informações relevantes tiradas do enunciado:
- A base projetada no plano
é o disco . - O plano superior do sólido é
(ou seja, varia de até sobre o disco). - O campo
é suficientemente suave (derivadas parciais contínuas), então operações de integração e divergência abaixo são válidas.
Passo 2
Escolha do método e enunciado da ferramenta que vou usar.
- Uma maneira muito eficiente para calcular o fluxo pela superfície fechada
de um sólido é aplicar o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss). Esse teorema afirma:
onde
.
- Justificativa rápida de aplicabilidade:
é um sólido limitado por superfícies lisas e fechadas e tem derivadas parciais contínuas, então o teorema vale. Logo vou transformar o problema de fluxo sobre em um integral triplo sobre .
Passo 3
Calcular a divergência de
.
- Componentes:
, , . - Derivadas parciais:
- Portanto
Passo 4
Montar o integral triplo sobre
usando coordenadas cilíndricas.
- Como a projeção do sólido no plano
é o disco de raio , é natural usar coordenadas cilíndricas. No sistema cilíndrico: e o elemento de volume é . - O enunciado fornece o limite superior em
: . Substituindo (pegado do enunciado) obtemos o teto
- Assim os limites são:
Passo 5
Escrever o integral explícito do fluxo.
Usando o teorema da divergência e
:
Passo 6
Integração em
(primeira integral interna).
- Calcule
com :
- Substituindo
e multiplicando por e por :
- Agora desenvolver algebraicamente com
:
- Expandindo passo a passo:
- Somando as duas parcelas:
- Logo, após a integração em
o integrando para as integrais em é
Passo 7
Integrar em
e
.
- O integral total torna-se
- Observação de simetria:
, então a segunda parcela (com ) não contribui. - Calcule as contribuições restantes separadamente.
- Primeira parcela:
- Terceira parcela:
- Sabendo
e , obtemos
- Somando as contribuições não nulas:
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida.
- Todas as etapas usam apenas manipulações elementares: cálculo da divergência, troca de fluxo por integral tripla via Teorema da Divergência, uso de coordenadas cilíndricas (jacobiano
) e integração direto em seguida de integrações em e . - Conferência de sinais e simetrias: o termo com
é ímpar na rotação completa e se anula, como esperamos pela simetria do disco.