Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial:
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
(ou em um intervalo onde a solução existe) e que toma o valor
em
.
Passo 2
Vamos escolher um método prático e padrão para esse tipo de equação. A equação dada tem a forma geral
onde aqui
e
. Para equações lineares de primeira ordem como essa, um método eficiente é o fator integrante (integrating factor). Explico a ideia:
- Queremos multiplicar toda a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto . - Se tivermos
, então
que é exatamente
vezes o lado esquerdo original. Assim escolhemos
Essa é a fórmula padrão para o fator integrante; em palavras: integrar
, exponentiar, e multiplicar a equação por
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
, então
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pelo que vimos no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
E o lado direito simplifica:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Logo
Isolando
,
Aqui
é uma constante que será determinada pela condição inicial.
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral:
Como
, segue
e portanto
. Substituindo de volta em
obtemos a solução particular:
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova para conferir): calcule
e substitua na equação original.
Então
que é exatamente o lado direito original. A condição inicial também é satisfeita:
. Tudo confere.