Resolva os problemas de valor inicial abaixo:
y^{\prime}(t)+2 y(t)=e^{-t}, y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial:
y'(t)+2\,y(t)=e^{-t},\qquad y(0)=2.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial para todo t (ou em um intervalo onde a solução existe) e que toma o valor 2 em t=0.

Passo 2

Vamos escolher um método prático e padrão para esse tipo de equação. A equação dada tem a forma geral
y'(t)+p(t)\,y(t)=q(t),
onde aqui p(t)=2 e q(t)=e^{-t}. Para equações lineares de primeira ordem como essa, um método eficiente é o fator integrante (integrating factor). Explico a ideia:
  • Queremos multiplicar toda a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \mu(t)y(t).
  • Se tivermos \mu'(t)=p(t)\,\mu(t), então
\big(\mu(t)y(t)\big)'=\mu(t)y'(t)+\mu'(t)y(t)=\mu(t)y'(t)+p(t)\mu(t)y(t),
que é exatamente \mu(t) vezes o lado esquerdo original. Assim escolhemos
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Essa é a fórmula padrão para o fator integrante; em palavras: integrar p(t), exponentiar, e multiplicar a equação por \mu(t).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: p(t)=2, então
\mu(t)=\exp\!\Big(\int 2\,dt\Big)=\exp(2t)=e^{2t}.
Multiplicando a equação original por e^{2t} obtemos
e^{2t}y'(t)+2e^{2t}y(t)=e^{2t}e^{-t}.
Pelo que vimos no passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\big(e^{2t}y(t)\big)'=e^{2t}e^{-t}.
E o lado direito simplifica:
e^{2t}e^{-t}=e^{t}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
\int \big(e^{2t}y(t)\big)'\,dt=\int e^{t}\,dt.
A integral do lado esquerdo é e^{2t}y(t). A integral do lado direito é e^{t}+C, onde C é a constante de integração. Logo
e^{2t}y(t)=e^{t}+C.
Isolando y(t),
y(t)=e^{-2t}\big(e^{t}+C\big)=e^{-t}+C\,e^{-2t}.
Aqui C é uma constante que será determinada pela condição inicial.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo t=0 na expressão geral:
y(0)=e^{0}+C\,e^{0}=1+C.
Como y(0)=2, segue 1+C=2 e portanto C=1. Substituindo de volta em y(t) obtemos a solução particular:
y(t)=e^{-t}+e^{-2t}.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova para conferir): calcule y'(t) e substitua na equação original.
y'(t)=-e^{-t}-2e^{-2t}.
Então
y'(t)+2y(t)=(-e^{-t}-2e^{-2t})+2(e^{-t}+e^{-2t})=e^{-t},
que é exatamente o lado direito original. A condição inicial também é satisfeita: y(0)=1+1=2. Tudo confere.

Resposta

y(t)=e^{-t}+e^{-2t}

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