Determine uma parametrização para o conjunto de todos (x, y, z) tais que \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, onde a, b e c são constantes positivas.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização do conjunto de todos os pontos (x,y,z) que satisfazem
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
onde a,b,c>0 são constantes.
Informações relevantes que temos:
  • A equação descreve uma superfície fechada (uma elipsoide) centrada na origem.
  • Queremos encontrar uma função de dois parâmetros que gere todos os pontos dessa superfície.

Passo 2

Ideia geométrica (intuição): a elipsoide acima pode ser vista como a imagem do esfera unitária pelo alongamento (escala) dos eixos x,y,z por fatores a,b,c. Ou seja, se (X,Y,Z) está na esfera unitária X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1, então (x,y,z)=(aX,bY,cZ) estará na elipsoide. Na prova, essa é a ideia que dá a parametrização direta: primeiro parametrizar a esfera e depois escalonar.

Passo 3

Parametrização da esfera unitária (recordando coordenadas esféricas): qualquer ponto da esfera unitária pode ser escrito em termos de dois ângulos \theta e \varphi como
X=\sin\theta\cos\varphi,\qquad Y=\sin\theta\sin\varphi,\qquad Z=\cos\theta,
onde
  • \theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z), com \theta\in[0,\pi];
  • \varphi é o ângulo azimutal no plano xy, com \varphi\in[0,2\pi).
Explicando por que isso funciona: para um \theta fixo, (X,Y) descreve um círculo de raio \sin\theta no plano xy, e Z=\cos\theta fixa a “altura”. As identidades trigonométricas garantem X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=\sin^{2}\theta(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi)+\cos^{2}\theta=1.

Passo 4

Fazendo o escalonamento dos eixos X\to x=aX,\;Y\to y=bY,\;Z\to z=cZ, obtemos a parametrização da elipsoide:
x(\theta,\varphi)=a\sin\theta\cos\varphi,
y(\theta,\varphi)=b\sin\theta\sin\varphi,
z(\theta,\varphi)=c\cos\theta,
com \theta\in[0,\pi] e \varphi\in[0,2\pi).

Passo 5

Verificação direta (substituir na equação da elipsoide):
\frac{x(\theta,\varphi)^{2}}{a^{2}}+\frac{y(\theta,\varphi)^{2}}{b^{2}}+\frac{z(\theta,\varphi)^{2}}{c^{2}} =\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\theta.
Usando \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1 obtemos
\sin^{2}\theta(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi)+\cos^{2}\theta=\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1,
portanto todo ponto gerado pela parametrização pertence à elipsoide, como desejado.

Passo 6

Dominio e cobertura: com \theta\in[0,\pi] e \varphi\in[0,2\pi) a parametrização alcança todos os pontos da superfície. Nos polos ( \theta=0 e \theta=\pi) o parâmetro \varphi é degenerado (todas as \varphi dão o mesmo ponto), mas isso é normal em parametrizações tipo “latitude-longitude” e não impede a cobertura completa da superfície. A parametrização é suave para 0<\theta<\pi.

Passo 7

Forma vetorial compacta: uma maneira curta de escrever a parametrização é
\mathbf{r}(\theta,\varphi)=\bigl(a\sin\theta\cos\varphi,\; b\sin\theta\sin\varphi,\; c\cos\theta\bigr),\qquad \theta\in[0,\pi],\\ \varphi\in[0,2\pi).
Observação prática para prova: ao apresentar uma parametrização de superfície do tipo elipsoide, escreva a fórmula e faça a substituição na equação para mostrar que a identidade se verifica (como em Passo 5). Isso costuma ser suficiente.

Passo 8

Alternativa (mesma ideia, nomes de parâmetros diferentes): usando latitude v\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] e longitude u\in[0,2\pi), uma parametrização equivalente é
x(u,v)=a\cos v\cos u,\quad y(u,v)=b\cos v\sin u,\quad z(u,v)=c\sin v.
Essa forma é útil se preferir pensar em latitude/longitude em vez de ângulo polar.

Resposta

\mathbf{r}(\theta,\varphi)=\bigl(a\sin\theta\cos\varphi,\; b\sin\theta\sin\varphi,\; c\cos\theta\bigr),\qquad \theta\in[0,\pi],\\ \varphi\in[0,2\pi).

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