Determine uma parametrização para o conjunto de todos
tais que
, onde
e
são constantes positivas.
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização do conjunto de todos os pontos
que satisfazem
onde
são constantes.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A equação descreve uma superfície fechada (uma elipsoide) centrada na origem.
- Queremos encontrar uma função de dois parâmetros que gere todos os pontos dessa superfície.
Passo 2
Ideia geométrica (intuição): a elipsoide acima pode ser vista como a imagem do esfera unitária pelo alongamento (escala) dos eixos
por fatores
. Ou seja, se
está na esfera unitária
, então
estará na elipsoide. Na prova, essa é a ideia que dá a parametrização direta: primeiro parametrizar a esfera e depois escalonar.
Passo 3
Parametrização da esfera unitária (recordando coordenadas esféricas): qualquer ponto da esfera unitária pode ser escrito em termos de dois ângulos
e
como
onde
-
é o ângulo polar (medido a partir do eixo ), com ; -
é o ângulo azimutal no plano , com .
Explicando por que isso funciona: para um
fixo,
descreve um círculo de raio
no plano
, e
fixa a “altura”. As identidades trigonométricas garantem
.
Passo 4
Fazendo o escalonamento dos eixos
, obtemos a parametrização da elipsoide:
com
e
.
Passo 5
Verificação direta (substituir na equação da elipsoide):
Usando
obtemos
portanto todo ponto gerado pela parametrização pertence à elipsoide, como desejado.
Passo 6
Dominio e cobertura: com
e
a parametrização alcança todos os pontos da superfície. Nos polos (
e
) o parâmetro
é degenerado (todas as
dão o mesmo ponto), mas isso é normal em parametrizações tipo “latitude-longitude” e não impede a cobertura completa da superfície. A parametrização é suave para
.
Passo 7
Forma vetorial compacta: uma maneira curta de escrever a parametrização é
Observação prática para prova: ao apresentar uma parametrização de superfície do tipo elipsoide, escreva a fórmula e faça a substituição na equação para mostrar que a identidade se verifica (como em Passo 5). Isso costuma ser suficiente.
Passo 8
Alternativa (mesma ideia, nomes de parâmetros diferentes): usando latitude
e longitude
, uma parametrização equivalente é
Essa forma é útil se preferir pensar em latitude/longitude em vez de ângulo polar.