Considere um sistema físico descrito pela lagrangiana em coordenadas cilíndricas:
L=\frac{m}{2}\left(\dot{\rho}^{2}+\rho^{2} \dot{\varphi}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+\alpha \rho^{2} \dot{\varphi},
onde \alpha é uma constante. Determine: (a) A hamiltoniana do sistema; (b) Há constantes do movimento? Se sim, encontre-a(s); (c) Mostre que a solução da parte radial pode ser reduzida a forma de quadratura,
t=\int \frac{d \rho}{\sqrt{\gamma-\left(\beta-\gamma \rho^{2}\right)^{2} / m^{2} \rho^{2}}}
determine as constantes \beta e \gamma.

Passo 1

O enunciado dá a lagrangiana em coordenadas cilíndricas
L=\frac{m}{2}\left(\dot{\rho}^{2}+\rho^{2}\dot{\varphi}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+\alpha\rho^{2}\dot{\varphi},
com \alpha constante. Pede-se:
(a) a hamiltoniana do sistema;
(b) se existem constantes do movimento e quais são;
(c) mostrar que a equação radial reduz-se a uma quadratura da forma
t=\int \frac{d\rho}{\sqrt{\gamma-\left(\beta-\gamma\rho^{2}\right)^{2}/m^{2}\rho^{2}}},
e determinar as constantes \beta e \gamma.
Informações relevantes dadas:
  • As coordenadas generalizadas são \rho,\varphi,z.
  • A lagrangiana depende de \dot\varphi mas não de \varphi explícita e não depende de t explicitamente.
  • \alpha e m são constantes do problema.

Passo 2

Vamos calcular os momentos canônicos padrão. O momento canônico associado a uma coordenada q é p_q=\partial L/\partial\dot q. Aplicando para cada coordenada:
Para \rho:
p_{\rho}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\rho}}=m\dot{\rho}.
Para \varphi:
p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=m\rho^{2}\dot{\varphi}+\alpha\rho^{2}=\rho^{2}(m\dot{\varphi}+\alpha).
Para z:
p_{z}=\frac{\partial L}{\partial\dot z}=m\dot z.
Comentário didático rápido: o termo \alpha\rho^{2}\dot\varphi acrescenta um deslocamento ao momento angular canônico p_{\varphi} em relação ao momento angular mecânico m\rho^{2}\dot\varphi. Isso é análogo ao que acontece na presença de um potencial magnético — o momento canônico difere do momento cinético.

Passo 3

Invertendo as relações para obter as velocidades em termos dos momentos (passo necessário para escrever a hamiltoniana em função dos momentos):
\dot{\rho}=\frac{p_{\rho}}{m},\qquad \dot z=\frac{p_{z}}{m}.
Da expressão de p_{\varphi} obtemos
m\dot{\varphi}= \frac{p_{\varphi}}{\rho^{2}}-\alpha \quad\Longrightarrow\quad \dot{\varphi}=\frac{1}{m}\left(\frac{p_{\varphi}}{\rho^{2}}-\alpha\right).

Passo 4

Construção da hamiltoniana: por definição
H=\sum_{q}p_{q}\dot q - L = p_{\rho}\dot\rho + p_{\varphi}\dot\varphi + p_{z}\dot z - L.
Substituindo as velocidades e a lagrangiana (mostrando as contas para ficar claro):
Calculemos p_{\rho}\dot\rho + p_{z}\dot z = \dfrac{p_{\rho}^{2}}{m}+\dfrac{p_{z}^{2}}{m}.
Para os termos envolvendo \varphi note que
p_{\varphi}\dot\varphi - \left(\frac{m}{2}\rho^{2}\dot{\varphi}^{2}+\alpha\rho^{2}\dot\varphi\right) = (p_{\varphi}-\alpha\rho^{2})\dot\varphi - \frac{m}{2}\rho^{2}\dot{\varphi}^{2}.
Mas p_{\varphi}-\alpha\rho^{2}=m\rho^{2}\dot\varphi, logo
(p_{\varphi}-\alpha\rho^{2})\dot\varphi - \frac{m}{2}\rho^{2}\dot{\varphi}^{2} = \frac{1}{2}m\rho^{2}\dot{\varphi}^{2}.
Assim, juntando tudo:
H=\frac{p_{\rho}^{2}}{m}+\frac{p_{z}^{2}}{m}+\frac{1}{2}m\rho^{2}\dot{\varphi}^{2}-\frac{m}{2}\dot{\rho}^{2}-\frac{m}{2}\dot{z}^{2},
mas reorganizando os termos (cancelando os meios) chegamos à forma final em termos dos momentos:
H=\frac{p_{\rho}^{2}}{2m}+\frac{p_{z}^{2}}{2m}+\frac{(p_{\varphi}-\alpha\rho^{2})^{2}}{2m\rho^{2}}.
Explicação didática: a hamiltoniana representa a energia total (cinética efetiva mais termos que vêm do acoplamento com \alpha). A última parcela é a energia associada ao movimento angular, corrigida pelo termo linear em \dot\varphi.

Passo 5

Constantes do movimento. Usamos dois fatos padrão:
  • Se a lagrangiana (ou hamiltoniana) não depende explicitamente do tempo, a energia H é conservada.
  • Se uma coordenada q não aparece na lagrangiana (é cíclica), o momento canônico p_q é conservado.
Aplicando ao nosso problema:
  • L não depende explicitamente de t \Rightarrow H é constante no tempo (energia conservada).
  • L não depende explicitamente de \varphi \Rightarrow p_{\varphi} é constante. Escrevendo explicitamente:
p_{\varphi}=\rho^{2}(m\dot{\varphi}+\alpha)=\text{constante}.
Interpretação: é um momento angular canônico (com correção devido a \alpha).
  • L não depende explicitamente de z \Rightarrow p_{z}=m\dot z é constante (momento linear na direção z).
Portanto as constantes de movimento relevantes são H, p_{\varphi} e p_{z}.

Passo 6

Redução da equação radial. Tome H=E (energia constante). A equação H=E dá:
\frac{p_{\rho}^{2}}{2m}+\frac{p_{z}^{2}}{2m}+\frac{(p_{\varphi}-\alpha\rho^{2})^{2}}{2m\rho^{2}}=E.
Isolando p_{\rho} e usando p_{\rho}=m\dot{\rho}:
\frac{m^{2}\dot{\rho}^{2}}{2m} = E-\frac{p_{z}^{2}}{2m}-\frac{(p_{\varphi}-\alpha\rho^{2})^{2}}{2m\rho^{2}}.
Multiplicando e simplificando obtemos
\dot{\rho}^{2}=\frac{2E}{m}-\frac{p_{z}^{2}}{m^{2}}-\frac{(p_{\varphi}-\alpha\rho^{2})^{2}}{m^{2}\rho^{2}}.
Agora definimos uma constante \gamma útil (é apenas uma reescrita conveniente dos termos que não envolvem \rho):
\gamma:=\frac{2E}{m}-\frac{p_{z}^{2}}{m^{2}}.
Com isso:
\dot{\rho}^{2}=\gamma-\frac{(p_{\varphi}-\alpha\rho^{2})^{2}}{m^{2}\rho^{2}}.
Tomando a raiz positiva para \dot\rho e separando variáveis:
t=\int\frac{d\rho}{\sqrt{\gamma-\dfrac{(p_{\varphi}-\alpha\rho^{2})^{2}}{m^{2}\rho^{2}}}}.
Comentário didático: a redução a quadratura consiste exatamente em escrever \dot\rho em função apenas de \rho (usando constantes de movimento) e integrar. A integral acima é a quadratura pedida.

Passo 7

Identificação das constantes \beta e \gamma no formato pedido. Comparando a quadratura obtida
t=\int\frac{d\rho}{\sqrt{\gamma-\dfrac{(p_{\varphi}-\alpha\rho^{2})^{2}}{m^{2}\rho^{2}}}}
com a forma do enunciado
t=\int \frac{d\rho}{\sqrt{\gamma-\dfrac{(\beta-\gamma\rho^{2})^{2}}{m^{2}\rho^{2}}}},
vemos que a constante que aparece subtraindo o termo com \rho^{2} no numerador do quadrado é p_{\varphi}; ou seja, \beta=p_{\varphi}. A constante \gamma que aparece como termo independente (fora da fração) corresponde à combinação de energia e momentum z que definimos acima:
\gamma=\frac{2E}{m}-\frac{p_{z}^{2}}{m^{2}}.
Observação sobre notação: na integral que foi derivada a combinação que multiplica \rho^{2} dentro do parêntese é \alpha (o parâmetro do lagrangiano), enquanto no enunciado essa combinação aparece como \gamma. Para manter coerência com a derivação física, identificamos
\beta=p_{\varphi},\qquad \gamma=\frac{2E}{m}-\frac{p_{z}^{2}}{m^{2}},
e então a quadratura correta é
t=\int\frac{d\rho}{\sqrt{\gamma-\dfrac{(\beta-\alpha\rho^{2})^{2}}{m^{2}\rho^{2}}}}.
Se o enunciado exige exatamente a forma com (\beta-\gamma\rho^{2}) dentro do quadrado, isso equivale a uma escolha notacional onde \gamma do enunciado seria o parâmetro \alpha do lagrangiano; a identificação das constantes dinâmicas (energia e momento axial) é a que demos acima.

Resposta

(a) H=\dfrac{p_{\rho}^{2}}{2m}+\dfrac{p_{z}^{2}}{2m}+\dfrac{(p_{\varphi}-\alpha\rho^{2})^{2}}{2m\rho^{2}}.
(b) As constantes de movimento são p_{\varphi}=\rho^{2}(m\dot{\varphi}+\alpha) (momento angular canônico), p_{z}=m\dot z (momento linear em z) e a energia H.
(c) \beta=p_{\varphi},\qquad \gamma=\dfrac{2E}{m}-\dfrac{p_{z}^{2}}{m^{2}}.

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