Considere um sistema físico descrito pela lagrangiana em coordenadas cilíndricas:
onde
é uma constante. Determine: (a) A hamiltoniana do sistema; (b) Há constantes do movimento? Se sim, encontre-a(s); (c) Mostre que a solução da parte radial pode ser reduzida a forma de quadratura,
determine as constantes
e
.
Passo 1
O enunciado dá a lagrangiana em coordenadas cilíndricas
com
constante. Pede-se:
(a) a hamiltoniana do sistema;
(b) se existem constantes do movimento e quais são;
(c) mostrar que a equação radial reduz-se a uma quadratura da forma
(a) a hamiltoniana do sistema;
(b) se existem constantes do movimento e quais são;
(c) mostrar que a equação radial reduz-se a uma quadratura da forma
e determinar as constantes
e
.
Informações relevantes dadas:
- As coordenadas generalizadas são
. - A lagrangiana depende de
mas não de explícita e não depende de explicitamente. -
e são constantes do problema.
Passo 2
Vamos calcular os momentos canônicos padrão. O momento canônico associado a uma coordenada
é
. Aplicando para cada coordenada:
Para
:
Para
:
Para
:
Comentário didático rápido: o termo
acrescenta um deslocamento ao momento angular canônico
em relação ao momento angular mecânico
. Isso é análogo ao que acontece na presença de um potencial magnético — o momento canônico difere do momento cinético.
Passo 3
Invertendo as relações para obter as velocidades em termos dos momentos (passo necessário para escrever a hamiltoniana em função dos momentos):
Da expressão de
obtemos
Passo 4
Construção da hamiltoniana: por definição
Substituindo as velocidades e a lagrangiana (mostrando as contas para ficar claro):
Calculemos
.
Para os termos envolvendo
note que
Mas
, logo
Assim, juntando tudo:
mas reorganizando os termos (cancelando os meios) chegamos à forma final em termos dos momentos:
Explicação didática: a hamiltoniana representa a energia total (cinética efetiva mais termos que vêm do acoplamento com
). A última parcela é a energia associada ao movimento angular, corrigida pelo termo linear em
.
Passo 5
Constantes do movimento. Usamos dois fatos padrão:
- Se a lagrangiana (ou hamiltoniana) não depende explicitamente do tempo, a energia
é conservada. - Se uma coordenada
não aparece na lagrangiana (é cíclica), o momento canônico é conservado.
Aplicando ao nosso problema:
-
não depende explicitamente de é constante no tempo (energia conservada). -
não depende explicitamente de é constante. Escrevendo explicitamente:
Interpretação: é um momento angular canônico (com correção devido a
).
-
não depende explicitamente de é constante (momento linear na direção ).
Portanto as constantes de movimento relevantes são
,
e
.
Passo 6
Redução da equação radial. Tome
(energia constante). A equação
dá:
Isolando
e usando
:
Multiplicando e simplificando obtemos
Agora definimos uma constante
útil (é apenas uma reescrita conveniente dos termos que não envolvem
):
Com isso:
Tomando a raiz positiva para
e separando variáveis:
Comentário didático: a redução a quadratura consiste exatamente em escrever
em função apenas de
(usando constantes de movimento) e integrar. A integral acima é a quadratura pedida.
Passo 7
Identificação das constantes
e
no formato pedido. Comparando a quadratura obtida
com a forma do enunciado
vemos que a constante que aparece subtraindo o termo com
no numerador do quadrado é
; ou seja,
. A constante
que aparece como termo independente (fora da fração) corresponde à combinação de energia e momentum
que definimos acima:
Observação sobre notação: na integral que foi derivada a combinação que multiplica
dentro do parêntese é
(o parâmetro do lagrangiano), enquanto no enunciado essa combinação aparece como
. Para manter coerência com a derivação física, identificamos
e então a quadratura correta é
Se o enunciado exige exatamente a forma com
dentro do quadrado, isso equivale a uma escolha notacional onde
do enunciado seria o parâmetro
do lagrangiano; a identificação das constantes dinâmicas (energia e momento axial) é a que demos acima.
Resposta
(a)
(b) As constantes de movimento são
(momento angular canônico),
(momento linear em
) e a energia
.
(c)