Aplicação 2.5

Um tubo em uma fábrica transporta vapor superaquecido a uma taxa de fluxo de massa de 0,3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O tubo tem 10 m de comprimento, 5 cm de diâmetro interno e espessura de parede de 6 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \mathrm{k}=17 \mathrm{W} / \mathrm{m} \mathrm{K}, com temperatura uniforme da superficie interna de 120^{\circ} \mathrm{C}. A queda da temperatura entre a entrada e saída do tubo é de 7^{\circ} \mathrm{C} e o calor específico a pressão constante do vapor é 2190 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}{ }^{\circ} \mathrm{C}.
Considerando que a temperatura do ar na fábrica é de 25^{\circ} \mathrm{C}, determine o coeficiente de TC como resultado da convecção entre a superfície externa do tubo e o ar no entorno.

Passo 1

Vamos entender exatamente o que o enunciado dá e o que pede. Pergunta: determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície externa do tubo e o ar ambiente. Informações fornecidas (peguei esses valores do enunciado):
\begin{aligned} &\dot m=0{,}3\\ \mathrm{kg/s},\\\ &L=10\\ \mathrm{m},\\\ &D_i=0{,}05\\ \mathrm{m},\\\ &\text{espessura da parede } t=0{,}006\\ \mathrm{m},\\\ &k=17\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,\mathrm{K},\\\ &T_{s,i}=120^\circ\mathrm{C}\quad\text{(temperatura da superfície interna, dada)},\\\ &T_\infty=25^\circ\mathrm{C}\quad\text{(temperatura do ar)},\\\ &\Delta T_{\text{fluido}}=7^\circ\mathrm{C}\quad\text{(queda de temperatura do vapor entre entrada e saída)},\\\ &c_p=2190\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}íí
Observação importante (do enunciado): a temperatura da superfície interna do tubo é dada e uniforme ( T_{s,i}=120^\circ\mathrm{C}), então podemos tratar essa superfície como uma fronteira conhecida e modelar a transferência de calor em série: condução radial através da parede (de r_i a r_o) e convecção na superfície externa (coeficiente h, que é o que queremos).

Passo 2

Calcular a taxa de calor removida do vapor usando balanço energético simples: toda a perda de energia do vapor é transferida pela parede e pelo ar exterior. Fórmula:
\dot Q = \dot m\,c_p\,\Delta T_{\text{fluido}}.
Substituindo os valores:
\dot Q = 0{,}3\cdot 2190\cdot 7 = 4599\\ \mathrm{W}.
Comentário didático: isso significa que, a cada segundo, o vapor perde 4599\\ \mathrm{J} (ou 4599\\ \mathrm{W}) enquanto percorre o tubo — essa energia sai do vapor e atravessa a parede até o ar ambiente.

Passo 3

Modelagem das resistências térmicas em série (explicação didática):
  • Há resistência por condução radial através de uma casca cilíndrica (a parede do tubo). Para condução radial em um cilindro de comprimento L, a resistência térmica é
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}{2\pi k L},
onde r_i e r_o são os raios interno e externo. Essa fórmula vem da integração da lei de Fourier em coordenadas cilíndricas — pensa assim: o fluxo é radial e a área varia com o raio, daí o logaritmo aparece.
  • A resistência por convecção externa é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h A_o},
onde A_o é a área de superfície externa do tubo: A_o=2\pi r_o L.
A queda total de temperatura entre a superfície interna e o ar é
\Delta T_{\text{total}}=T_{s,i}-T_\infty,
e a taxa de calor é dada por
\dot Q=\frac{\Delta T_{\text{total}}}{R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}}.
Nosso objetivo é isolar h a partir dessa equação.

Passo 4

Calcular geometricamente r_i, r_o e A_o (peguei D_i e a espessura do enunciado):
r_i=\frac{D_i}{2}= \frac{0{,}05}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m},
r_o=r_i+t=0{,}025+0{,}006=0{,}031\\ \mathrm{m},
A_o=2\pi r_o L=2\pi\cdot 0{,}031\cdot 10=1{,}9477874\\ \mathrm{m}^2\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Calcular a resistência de condução R_{\text{cond}}. Usando a fórmula e k=17\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\,\mathrm{K}:
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}031}{0{,}025}\right)}{2\pi\cdot 17\cdot 10}.
Calculemos passo a passo:
\frac{0{,}031}{0{,}025}=1{,}24,\quad \ln(1{,}24)\approx 0{,}215111,
R_{\text{cond}}=\frac{0{,}215111}{2\pi\cdot 170}=\frac{0{,}215111}{1068{,}1415}\approx 0{,}00020145\\ \mathrm{K/W}.
Explicação: essa resistência é muito pequena porque a parede é fina e o cobre (ou metal com k=17) conduz bem.

Passo 6

Determinar a resistência térmica total necessária a partir de \Delta T_{\text{total}} e \dot Q:
\Delta T_{\text{total}}=T_{s,i}-T_\infty=120-25=95^\circ\mathrm{C},
R_{\text{total}}=\frac{\Delta T_{\text{total}}}{\dot Q}=\frac{95}{4599}\approx 0{,}0206547\\ \mathrm{K/W}.
Então a resistência convectiva externa é
R_{\text{conv}}=R_{\text{total}}-R_{\text{cond}}=0{,}0206547-0{,}00020145\approx 0{,}0204533\\ \mathrm{K/W}.
Comentário: como R_{\text{cond}} é muito pequena, a maior parte da queda de temperatura está na convecção para o ar — isso faz sentido fisicamente: o ar não conduz calor tão bem quanto a parede.

Passo 7

Agora isolamos h usando R_{\text{conv}}=1/(h A_o). Assim
h=\frac{1}{R_{\text{conv}}\,A_o}.
Substituindo os valores calculados:
h=\frac{1}{0{,}0204533\cdot 1{,}9477874}\approx \frac{1}{0{,}039846}\approx 25{,}09\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.
Arredondando com sentido prático (duas casas significativas razoáveis aqui):
h\approx 25{,}1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}.

Passo 8

Interpretação e checagem rápida: valores típicos de coeficiente convectivo para ar em convecção natural/forçada ao redor de tubos estão frequentemente entre 5 e 100\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}, então 25{,}1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K} é um valor plausível. Como a resistência do metal é muito pequena, o resultado é dominado pela convecção externa — por isso nossa estratégia (usar T_{s,i} conhecido e resistências em série) é apropriada.

Resposta

h \approx 25{,}1\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}

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