Desenhe um gráfico relacionando a variação da viscosidade (variável dependente) com a variação da tensão de cisalhamento (variável independente) para fluidos newtonianos, dilatantes, pseudoplásticos e plásticos de Bingham.
Passo 1
O enunciado pede que eu desenhe (esboce) um gráfico que relaciona a variação da viscosidade (variável dependente) com a variação da tensão de cisalhamento (variável independente) para quatro tipos de fluidos: newtonianos, dilatantes, pseudoplásticos e plásticos de Bingham.
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vou usar:
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vou usar:
- A variável independente é a tensão de cisalhamento, que vou denotar por
. Essa será o eixo horizontal (x). - A variável dependente é a viscosidade aparente (ou simplesmente viscosidade), que vou denotar por
. Essa será o eixo vertical (y). - Preciso mostrar qualitativamente (e com fórmulas/valores de exemplo) como cada tipo de fluido aparece nesse gráfico.
Passo 2
Conceitos básicos que precisamos entender antes de desenhar:
- Tensão de cisalhamento:
(unidade: Pa). É a força por área que tende a causar escoamento. - Taxa de cisalhamento (ou velocidade de cisalhamento):
(unidade: s^{-1}). É a taxa de deformação do fluido. - Viscosidade aparente:
é definida por
Explicação: essa relação significa “qual é a relação entre a força que aplicamos (tensão) e a velocidade de deformação que obtemos”. Para fluidos gerais usamos essa definição para comparar comportamentos mesmo quando a relação
vs
não é linear.
Passo 3
Fluido newtoniano (o mais simples):
- Lei:
, onde é a viscosidade constante do fluido (independente de ou ). - A partir de
obtemos
Como representar no gráfico: uma linha horizontal paralela ao eixo
. Exemplo numérico para desenhar: escolha
(unidade arbitrária). Então para qualquer
,
.
Passo 4
Modelos de lei de potência (úteis para dilatantes e pseudoplásticos):
- Modelo potência:
, com (consistência) e (índice de fluência). - Isolando
:
- Substituindo em
vem
Interpretação do expoente
:
- Se
então → cresce com (dilatante, shear-thickening). - Se
então → decresce com (pseudoplástico, shear-thinning).
Exemplos numéricos práticos (para desenhar pontos): - Dilatante: escolha
, . Então
Pontos:
;
;
.
- Pseudoplástico: escolha
, . Então
Pontos:
;
;
.
Passo 5
Plástico de Bingham:
- Lei de Bingham:
, onde é a tensão de escoamento (yield stress) e é a “viscosidade plástica” (para altas tensões). - Se
então (o material não flui), e a definição não é bem definida (tende a infinito) — interprete como comportamento sólido até . - Para
isolamos :
Então
Comportamento dessa função:
- Quando
o denominador vai a zero e (vertical assíntota em ). - Quando
temos (a curva decresce e tende a uma assíntota horizontal ).
Exemplo numérico: escolha(Pa) e (Pa·s). Então: -
. -
. -
(próximo de ).
Passo 6
Instruções passo a passo para desenhar o gráfico no papel (rápido para prova):
- Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal
rotulado (tensão de cisalhamento), eixo vertical rotulado (viscosidade aparente). - Marque um valor
no eixo para usar como yield stress do Bingham (por exemplo ). - Desenhe a linha horizontal para o fluido newtoniano em alguma altura
constante (por exemplo em ). - Desenhe a curva pseudoplástica: começando relativamente alta em
pequenos e caindo rapidamente conforme cresce (use os pontos do exemplo para guiar). - Desenhe a curva dilatante: começando baixa para
pequenos e subindo com (use os pontos do exemplo). - Para o Bingham: desenhe uma região deixada em branco (ou marque “sem escoamento”) para
; desenhe imediatamente à direita de uma curva com valor muito grande que decresce e tende a uma linha horizontal em . - Anote breves legendas próximas às curvas: “newtoniano”, “pseudoplástico (n<1)”, “dilatante (n>1)”, “Bingham (yield
)”.
Passo 7
Como interpretar rapidamente o gráfico durante a prova (dicas de memorização):
- Newtoniano: “horizontal” — viscosidade não muda com
. - Pseudoplástico: “desce” — fica mais fino quanto mais forço você aplica.
- Dilatante: “sobe” — fica mais grosso/quase sólido quanto mais forço aplica.
- Bingham: “tem yield” — não sai do lugar até
; logo depois parece muito viscoso e vai relaxando até um valor constante .
Passo 8
Esboço ASCII rápido (apenas qualitativo) para ajudar a visualizar — eixo horizontal é
, vertical é
. As etiquetas à direita indicam cada curva.
y (viscosidade)
^
| dilatante /
| . /
| . /
| Newtoniano -----·-/----------
| / /
| / / Bingham (vertical em , depois decresce)
| / /
| / /
| / /
| pseudoplástico
±---------------------------------> x ( )
^
| dilatante /
| . /
| . /
| Newtoniano -----·-/----------
| / /
| / / Bingham (vertical em
| / /
| / /
| / /
| pseudoplástico
±---------------------------------> x (
(Use as fórmulas dos passos anteriores para posicionar pontos exatos se quiser plotar numericamente.)
Resposta
Newtoniano:
(linha horizontal).\nDilatante (power-law,
):
— curva crescente em
.\nPseudoplástico (power-law,
):
— curva decrescente em
.\nPlástico de Bingham: para
sem escoamento (viscosidade aparente tende a
); para
,
que tem assíntota vertical em
e tende a
quando
.