Desenhe um gráfico relacionando a variação da viscosidade (variável dependente) com a variação da tensão de cisalhamento (variável independente) para fluidos newtonianos, dilatantes, pseudoplásticos e plásticos de Bingham.

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe (esboce) um gráfico que relaciona a variação da viscosidade (variável dependente) com a variação da tensão de cisalhamento (variável independente) para quatro tipos de fluidos: newtonianos, dilatantes, pseudoplásticos e plásticos de Bingham.
Informações dadas (explícitas ou implícitas) que vou usar:
  • A variável independente é a tensão de cisalhamento, que vou denotar por \tau. Essa será o eixo horizontal (x).
  • A variável dependente é a viscosidade aparente (ou simplesmente viscosidade), que vou denotar por \eta_{\text{app}}. Essa será o eixo vertical (y).
  • Preciso mostrar qualitativamente (e com fórmulas/valores de exemplo) como cada tipo de fluido aparece nesse gráfico.

Passo 2

Conceitos básicos que precisamos entender antes de desenhar:
  • Tensão de cisalhamento: \tau (unidade: Pa). É a força por área que tende a causar escoamento.
  • Taxa de cisalhamento (ou velocidade de cisalhamento): \dot\gamma (unidade: s^{-1}). É a taxa de deformação do fluido.
  • Viscosidade aparente: \eta_{\text{app}} é definida por
\eta_{\text{app}}=\frac{\tau}{\dot\gamma}.
Explicação: essa relação significa “qual é a relação entre a força que aplicamos (tensão) e a velocidade de deformação que obtemos”. Para fluidos gerais usamos essa definição para comparar comportamentos mesmo quando a relação \tau vs \dot\gamma não é linear.

Passo 3

Fluido newtoniano (o mais simples):
  • Lei: \tau=\eta\,\dot\gamma, onde \eta é a viscosidade constante do fluido (independente de \dot\gamma ou \tau).
  • A partir de \eta_{\text{app}}=\tau/\dot\gamma obtemos
\eta_{\text{app}}=\eta=\text{constante}.
Como representar no gráfico: uma linha horizontal paralela ao eixo \tau. Exemplo numérico para desenhar: escolha \eta=1 (unidade arbitrária). Então para qualquer \tau, \eta_{\text{app}}=1.

Passo 4

Modelos de lei de potência (úteis para dilatantes e pseudoplásticos):
  • Modelo potência: \tau=K\,\dot\gamma^{\,n}, com K>0 (consistência) e n (índice de fluência).
  • Isolando \dot\gamma:
\dot\gamma=\left(\frac{\tau}{K}\right)^{1/n}.
  • Substituindo em \eta_{\text{app}}=\tau/\dot\gamma vem
\eta_{\text{app}}=K^{1/n}\,\tau^{\frac{n-1}{n}}.
Interpretação do expoente \dfrac{n-1}{n}:
  • Se n>1 então \dfrac{n-1}{n}>0 \eta_{\text{app}} cresce com \tau (dilatante, shear-thickening).
  • Se n<1 então \dfrac{n-1}{n}<0 \eta_{\text{app}} decresce com \tau (pseudoplástico, shear-thinning).
    Exemplos numéricos práticos (para desenhar pontos):
  • Dilatante: escolha K=1, n=1{,}5. Então
\eta_{\text{app}}=\tau^{\frac{1{,}5-1}{1{,}5}}=\tau^{1/3}.
Pontos: \tau=0{,}1\Rightarrow\eta_{\text{app}}\approx0{,}46; \tau=1\Rightarrow\eta_{\text{app}}=1; \tau=10\Rightarrow\eta_{\text{app}}\approx2{,}15.
  • Pseudoplástico: escolha K=1, n=0{,}5. Então
\eta_{\text{app}}=\tau^{\frac{0{,}5-1}{0{,}5}}=\tau^{-1}.
Pontos: \tau=0{,}1\Rightarrow\eta_{\text{app}}=10; \tau=1\Rightarrow\eta_{\text{app}}=1; \tau=10\Rightarrow\eta_{\text{app}}=0{,}1.

Passo 5

Plástico de Bingham:
  • Lei de Bingham: \tau=\tau_0+\eta_p\,\dot\gamma, onde \tau_0 é a tensão de escoamento (yield stress) e \eta_p é a “viscosidade plástica” (para altas tensões).
  • Se \tau<\tau_0 então \dot\gamma=0 (o material não flui), e a definição \eta_{\text{app}}=\tau/\dot\gamma não é bem definida (tende a infinito) — interprete como comportamento sólido até \tau_0.
  • Para \tau>\tau_0 isolamos \dot\gamma:
\dot\gamma=\frac{\tau-\tau_0}{\eta_p}.
Então
\eta_{\text{app}}=\frac{\tau}{\dot\gamma}=\eta_p\frac{\tau}{\tau-\tau_0}.
Comportamento dessa função:
  • Quando \tau\to\tau_0^+ o denominador vai a zero e \eta_{\text{app}}\to+\infty (vertical assíntota em \tau=\tau_0).
  • Quando \tau\to\infty temos \eta_{\text{app}}\to\eta_p (a curva decresce e tende a uma assíntota horizontal \eta_p).
    Exemplo numérico: escolha \tau_0=1 (Pa) e \eta_p=0{,}5 (Pa·s). Então:
  • \tau=1{,}1\Rightarrow\eta_{\text{app}}=0{,}5\cdot\frac{1{,}1}{0{,}1}=5{,}5.
  • \tau=2\Rightarrow\eta_{\text{app}}=0{,}5\cdot\frac{2}{1}=1{,}0.
  • \tau=10\Rightarrow\eta_{\text{app}}=0{,}5\cdot\frac{10}{9}\approx0{,}56 (próximo de \eta_p=0{,}5).

Passo 6

Instruções passo a passo para desenhar o gráfico no papel (rápido para prova):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares: eixo horizontal x rotulado \tau (tensão de cisalhamento), eixo vertical y rotulado \eta_{\text{app}} (viscosidade aparente).
  2. Marque um valor \tau_0>0 no eixo x para usar como yield stress do Bingham (por exemplo \tau_0=1).
  3. Desenhe a linha horizontal para o fluido newtoniano em alguma altura \eta= constante (por exemplo em y=1).
  4. Desenhe a curva pseudoplástica: começando relativamente alta em \tau pequenos e caindo rapidamente conforme \tau cresce (use os pontos do exemplo para guiar).
  5. Desenhe a curva dilatante: começando baixa para \tau pequenos e subindo com \tau (use os pontos do exemplo).
  6. Para o Bingham: desenhe uma região deixada em branco (ou marque “sem escoamento”) para \tau<\tau_0; desenhe imediatamente à direita de \tau_0 uma curva com valor muito grande que decresce e tende a uma linha horizontal em \eta=\eta_p.
  7. Anote breves legendas próximas às curvas: “newtoniano”, “pseudoplástico (n<1)”, “dilatante (n>1)”, “Bingham (yield \tau_0)”.

Passo 7

Como interpretar rapidamente o gráfico durante a prova (dicas de memorização):
  • Newtoniano: “horizontal” — viscosidade não muda com \tau.
  • Pseudoplástico: “desce” — fica mais fino quanto mais forço você aplica.
  • Dilatante: “sobe” — fica mais grosso/quase sólido quanto mais forço aplica.
  • Bingham: “tem yield” — não sai do lugar até \tau_0; logo depois parece muito viscoso e vai relaxando até um valor constante \eta_p.

Passo 8

Esboço ASCII rápido (apenas qualitativo) para ajudar a visualizar — eixo horizontal é \tau, vertical é \eta_{\text{app}}. As etiquetas à direita indicam cada curva.
y (viscosidade)
^
| dilatante /
| . /
| . /
| Newtoniano -----·-/----------
| / /
| / / Bingham (vertical em \tau_0, depois decresce)
| / /
| / /
| / /
| pseudoplástico
±---------------------------------> x ( \tau)
(Use as fórmulas dos passos anteriores para posicionar pontos exatos se quiser plotar numericamente.)

Resposta

Newtoniano: \eta_{\text{app}}=\eta=\text{constante} (linha horizontal).\nDilatante (power-law, n>1): \eta_{\text{app}}=K^{1/n}\,\tau^{\frac{n-1}{n}} — curva crescente em \tau.\nPseudoplástico (power-law, n<1): \eta_{\text{app}}=K^{1/n}\,\tau^{\frac{n-1}{n}} — curva decrescente em \tau.\nPlástico de Bingham: para \tau<\tau_0 sem escoamento (viscosidade aparente tende a \infty); para \tau>\tau_0,
\eta_{\text{app}}=\eta_p\frac{\tau}{\tau-\tau_0},
que tem assíntota vertical em \tau=\tau_0 e tende a \eta_p quando \tau\to\infty.

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